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Rebecca
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Februar, 2001 - 15:16: | 
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Bestimmen Sie die Polynomfunktion 3.Grades, deren Graph
1. symmetrisch zum Ursprung ist,
2. mit der Steigung 3 durch den Ursprung geht
3. und im ersten Quadranten mit der x-Achse eine Fläche mit dem Inhalt 18 einschliesst.
Wer kennt sich mit solchen Aufgaben aus, und kann mir helfen? |
Michael H
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. Februar, 2001 - 09:04: |
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Hallo Rebecca,
ich versuch es mal ausführlich zu erklären:
eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat die
allgemeine Gleichung f(x)=ax³+bx²+cx+d
bei einer Symmetrie zum Ursprung treten nur
ungerade Potenzen von x in der Gleichung auf
also b=0 und d=0
somit ist f(x)=ax³+cx
der Graph der Funktion geht durch den Ursprung
und hat dort die Steigung 3
f(0)=0 (geht durch den Ursprung)
f'(0)=3 (Steigung an der Stelle x=0 ist 3)
eingesetzt in f(x)=ax³+cx erhält man:
f(0)=0 ==> 0=0 (hier keine neue Information)
f'(x)=3ax²+c
f'(0)=3 ==> c=3
somit ist jetzt f(x)=ax³+3x
a muss noch berechnet werden
für die Fläche im ersten Quadranten benötigt
man noch die zweite Nullstelle
die Fläche ist dann das Integral von 0 bis zum
x-Wert dieser Nullstelle von f(x)
zweite Nullstelle: f(x)=0
f(x)=0 ==> x(ax²+3)=0
x=0 oder ax²+3=0
x=+/-Wurzel(-3/a)
da x im ersten Quadranten liegt ist x>0
und somit die zweite Nullstell bei x=Wurzel(-3/a)
nun der Ansatz für die Fläche
A=18
und A=Integral von 0 bis Wurzel(-3/a) [ax³+3x]
Stammfunktion ist (a/4)x^4+(3/2)x²
Grenzen eingesetzt:
A=(a/4)*(Wurzel(-3/a))^4 + (3/2)*(Wurzel(-3/a))^2 - (0 + 0)
A= (a/4)*(-3/a)² + (3/2)*(-3/a)
A= 9/(4a) - 9/(2a)
der Betrag dieser Fläche soll 18 FE sein:
A=18 ==> 9/(4a) - 9/(2a) =18
a = -1/8
die zweite Nullstelle liegt bei x=Wurzel(-3/(-1/8))
also bei x=Wurzel(24)
die Funktionsgleichung lautet:
f(x)= (-1/8)x³ + 3x |
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