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Kristina
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Februar, 2001 - 14:02: | 
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Eine Kurve (ergibt eine Rosette) ist in Polarkoordinaten durch die Gleichung r=sin(2*phi) gegeben.
Als Lösung ist gegeben A=pi/2
Als Rechenweg ist gegeben:
A= 8*1/2*das Integral (von 0 bis pi/4)von sin(2*phi)^2 d(phi)
Ich verstehe absolut nicht wie man auf
sin(2*phi)°2 kommt.
Ich hoffe die Gleichung für den Rechenweg ist einigermaßen verständlich geschrieben...
Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand die Rechnung erklären könnte.
Kristina |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Februar, 2001 - 20:52: |
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Hallo Kristina,
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H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Februar, 2001 - 21:32: |
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Hi Kristina,
Darf ich die "schöne Formel" (sie ist wircklich schön !) etwas kommentieren und Ihrer Abstammung nachgehen !!
Eine Kurve c sei in Polarkoordinaten r = f (phi) gegeben
Dann gilt für das Flächenelement dA der von c eingeschlossenen
Fläche A :
dA = ½ * r ^ 2 * d (phi) ..........................................................(I)
A ergibt sich als bestimmtes Integral über dA.
für geeignete Grenzen.
Man deute den Ausdruck für dA als angenäherte Fläche eines
schmalen Kreissektors.
dA = ½ * r * db ,
wobei db der zum Zentriwinkel d(phi) gehörende elementare
Kreisbogen vom Radius r ist , oder noch besser:
Setze in dem aus der Formel von Leibniz stammenden
Umlaufintegral
A = ½ * int [x * dy - y * dx ] ...................................................(II)
für x , y die Transformationsformeln auf Polarkoordinaten ein:
x = r * cos (phi) , dx = - r * sin (phi) * d(phi)
y = r * sin (phi) , dy = r * cos (phi )* d(phi)
So entsteht aus Formel (II) die Formel (I)
Kürzlich habe ich die Sektorformelformel von Leibniz hergeleitet
und ins Board gestellt
Siehe im Archiv unter dem Stichwort "Jesse" nach
.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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