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Hero
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Februar, 2001 - 19:42: | 
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Eine (für mich) unlösbare Aufgabe:
Bestimme den Ort aller Punkte z, sodaß gilt: z, i und iz liegen auf einer Geraden.
Wie macht man sowas? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Februar, 2001 - 07:13: |
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Hi Hero,
In der Gauss'schen Zahlenebene entspricht z = x + i y
Dem Punkt P( x / y ) ; aus w = i z wird der Punkt Q( - y / x ).
Der Punkt Q geht übrigens aus P durch eine Drehung
um den Nullpunkt O , Drehwinkel 90°, hervor.
Wir lassen zunächst P und damit auch Q fest und verlangen,
dass die Verbindungsgerade g der Punkte P und Q
durch den Punkt E( 0 / 1 ) geht ; E entspricht der rein
imaginären Zahl i1.
Damit keine Verwechslungen mit den Koordinaten x , y des
laufenden Punktes P von g entstehen , schreiben wir für die
Koordinaten von P: xP = u, yP = v ,damit werden xQ = - v , yQ = u.
Die Steigung m von g ist:
m = (u - v ) / ( -v - u )
Mit der Punkt-Richtungsform erhalten wir die Gleichung von g:
y - v = m ( x - u ) , m wird ersetzt und der Bruch weggeschafft:
(y - v )*( - v - u ) = ( u - v ) * ( x - u )
Der Punkt E(0/1) muss auf g liegen, somit erfüllen die Koordinaten
von E die Geradengleichung.
Es kommt:
(- u - v ) * ( 1 - v) = ( u - v ) * ( - u ) , vereinfacht:
u ^ 2 + v ^ 2 - u - v = 0
Das ist eine Kreisgleichung, d.h. der Punkt P(u/v) läuft bei der Prozedur
auf dem Kreis mit Mittelpunkt M( ½ / ½ ), Radius r= ½ * wurzel(2)
wie man nach erfolgter quadratischer Ergänzung erkennt:
( x - ½ ) ^ 2 + ( y - ½ ) ^ 2 = ½
Der Kreis geht durch O und durch E, wie zu erwarten war.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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