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Beitrag |
    
jojo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Februar, 2001 - 21:16: | 
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brauche dringend hilfe!!
wie kann ich
ò2 3 (4x^2-3x-4) / (x^3+x^2-2x)
durch partialbruchzerlegung lösen???
danke schon im voraus (gehts vielleicht noch heute abend/morgen früh?)
thx jojo |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Februar, 2001 - 23:06: |
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Wir zerlegen diesen Bruch - indem wir zuerst den Nenner in Linearfaktoren zerlegen - wie folgt:
(4x2 - 3x - 4) / (x3 + x2 - 2x)
= (4x2 - 3x - 4) / [x(x - 1)(x + 2)]
= a/x + b/(x-1) + c(x+2)
Man addiert Brüche, indem man den Hauptnenner sucht...
= [a(x-1)(x+2) + bx(x+2) + cx(x-1)]/[x(x-1)(x+2)]
= [(ax2+ax-2a) + (bx2+2bx) + (cx2-cx)]/[x(x-1)(x+2)]
Dann sortiert man im Zähler die Potenzen von x:
= [(a+b+c)x2 + (a+2b-c)x + (-2a)]/[x(x-1)(x+2)]
... und erhält durch Koeffizientenvergleich mit dem ursprünglichen Zähler:
a+b+c = 4
a+2b-c = -3
-2a = -4
Lösung: a=2 ; b=-1 ; c=3
Das Integral erhält die Form (ohne Grenzen, also unbestimmt):
\int (2/x - 1/(x-1) + 3/(x+2)) dx
= 2ln Betrag(x) - ln Betrag(x-1) + 3ln Betrag(x+2) + c
Das ist die Stammfunktion. Jetzt nur noch die Grenzen einsetzen und fertich!!!
Die Lösung:
I = ln 1125 - ln 512 = ~0,7872 |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Februar, 2001 - 23:07: |
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Wir zerlegen diesen Bruch - indem wir zuerst den Nenner in Linearfaktoren zerlegen - wie folgt:
(4x2 - 3x - 4) / (x3 + x2 - 2x)
= (4x2 - 3x - 4) / [x(x - 1)(x + 2)]
= a/x + b/(x-1) + c(x+2)
Man addiert Brüche, indem man den Hauptnenner sucht...
= [a(x-1)(x+2) + bx(x+2) + cx(x-1)]/[x(x-1)(x+2)]
= [(ax2+ax-2a) + (bx2+2bx) + (cx2-cx)]/[x(x-1)(x+2)]
Dann sortiert man im Zähler die Potenzen von x:
= [(a+b+c)x2 + (a+2b-c)x + (-2a)]/[x(x-1)(x+2)]
... und erhält durch Koeffizientenvergleich mit dem ursprünglichen Zähler:
a+b+c = 4
a+2b-c = -3
-2a = -4
Lösung: a=2 ; b=-1 ; c=3
Das Integral erhält die Form (ohne Grenzen, also unbestimmt):
ò (2/x - 1/(x-1) + 3/(x+2)) dx
= 2ln Betrag(x) - ln Betrag(x-1) + 3ln Betrag(x+2) + c
Das ist die Stammfunktion. Jetzt nur noch die Grenzen einsetzen und fertich!!!
Die Lösung:
I = ln 1125 - ln 512 = ~0,7872 |
Tanja (Fliessie)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Februar, 2001 - 00:41: |
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mann hast du Glück, dass ich diese Nacht anscheinend unter Schlafstörungen leide,
keine Garantie übrigens
1. Zerlegung des Nenners in Faktoren ergibt :
x^3+x^2-2x=x*(x+2)*(x-1)
(Ausklammern, pq-Formel)
somit:
a)(4x^2-3x-4)/[x*(x+2)*(x-1)= A/x + B/(x+2) + C/(x-1)
am Beispiel von B:
du mußt als erstes die gesamte Gleichung mit (x+2) multiplizieren dann kürzt sich (x+2) links von dem Gleichheitszeichen und bei B weg...wenn du jetzt die Lösung -2 für alle x-Werte einsetzt, verschwindet der Term bei A und C und du kannst B ausrechnen.Wenn du damit fertig bist gehst du zurück zur Gleichung a) und tust das gleiche mit A und C
es ergibt sich dann (wenn ich 1 und 1 noch zusammenzählen kann ) für:
A=2
B=-3
C=-1
somit :
Integral(4x^2-3x-4)/[x^3+x^2-2x] = 2*Integral(1/x) -3*Integral [1/(x+2)] -Integral [1/(x-1)]
= 2*ln (Bertag x)-3*ln[Betrag(x+2)] -ln [Betrag(x-1)
viel Spaß beim Einsetzen der Werte, gehe jetzt schlafen.
Grüße Fliessie |
Tanja (Fliessie)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Februar, 2001 - 00:45: |
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sehe, hab mich verrechnet, c=3
Grüße
Fliessie |
Tanja (Fliessie)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Februar, 2001 - 00:50: |
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sehe, hab mich verrechnet, B=3
Fliessie |
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