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Beitrag |
    
ulf
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Februar, 2001 - 17:09: | 
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Hallo
Suche dringend, von den Ableitungsregeln, den Beweis der Qutienten und Kehrwehrtregel
Danke
Ulf |
Lars Weiser
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Februar, 2001 - 09:34: |
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Hallo Ulf, ich hoffe, dies beantwortet Deine Fragen ??
§1 PRODUKTREGEL
Sind zwei Funktionen u und v diff'bar, so ist auch die Funktion f=u·v diff'bar, und es gilt: f'=u'·v + u·v'
§2 KETTENREGEL
Ist eine Funktion h diff'bar an einer Stelle x und eine Funktion g diff'bar an der Stelle h(x), so ist auch die Funktion f(x)=g(h(x)) diff'bar an der Stelle x, und es gilt: f'(x)=g'(h(x))·h'(x)
§3 QUOTIENTENREGEL
Sind die Funktionen u und v diff'bar an einer Stelle x und gilt v(x)<>0, so ist auch die Funktion f=u/v diff'bar an der Stelle x, und es gilt: f'=(u'·v-u·v')/(v^2)
BEWEIS:
Sei f eine Funktion f=u/v=u·(1/v) mit den Eigenschaften aus §3. Dann gilt nach §1:
f'=u'·(1/v)+u·(1/v)'
Was ist aber (1/v)' ?
(1/v)'=(v^(-1))' und dann folgt mit §2:
(v^(-1))'=-1·(v^(-2))·v'=-v'/(v^2)
also gilt offenbar
f'=u'·(1/v)+u·(-v'/(v^2))=u'/v-u·v'/(v^2)=(u'·v-u·v')/(v^2)
also gilt §3! Q.E.D.
Schöner Gruß,
Lars |
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