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Beitrag |
    
Judith
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Februar, 2001 - 16:40: | 
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Wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte,bis Mittwoch Abend!
Also: Berechnen Sie die Integrale mit Hilfe des Verfahrens der Partialbruchzerlegung!
a)Integral (oben 2,unten 1) von
[(x+1)dx]/8x²-x-6)
b)Integral (oben 0,unten -1) von
(xdx)/(2x²+3x-2)
c)Integral (oben 3,unten 2) von
[(x³-1)dx]/(x²-x-12)
Hoffe ihr könnt damit etwas anfangen?!
Hilft mir BITTE!!!!!!!!!!!!!!!!! |
Michael H
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Februar, 2001 - 11:27: |
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Hallo Judith,
erst mal eine allgemeine Erklärung der Partialbruchzerlegung:
http://www.math.tu-cottbus.de/INSTITUT/lsing2/hmbiw2/skript5/node6.html
oder
http://www.th.physik.uni-frankfurt.de/~scherer/clm/cdhag_d/teil_3/node47.htm
ich versuche es mal mit Aufgabe b)
gegegeben ist die echt gebrochen-rationale Funktion x/(2x²+3x-2)
der Nenner lässt sich nach Bestimmung der Nullstellen -2 und 1/2 als Linearfaktoren schreiben:
x/[2(x+2)(x-1/2)]
nun folgt der Ansatz der Partialbrüche:
x/[2(x+2)(x-1/2)] = A/(x+2) + B(x-1/2)
die rechte Seite der Gleichung auf einen Bruch
gebracht, vereinfacht und sortiert:
x/[2(x+2)(x-1/2)] = [2(A+B)x-A+4B]/[2(x+2)(x-1/2)]
beide Nenner sind gleich
Zähler sollen auch gleich sein
Koeffizientenvergleich ergibt:
2(A+B)=1 Faktor vor x, links hat man 1x
-A+4b=0 Summand ohne x, links hat man 0
als Lösung dieses LGS erhält man
A=2/5, B=1/10
folglich laesst sich die geg. Funktion
auch schreiben als:
x/(2x²+3x-2) = (2/5)/(x+2) + (1/10)/(x-1/2)
(dies ist eine reine Äquivalenzumformung,
bringt man die rechte Seite wieder auf einen Bruch
und formt um, so erhält man die linke Seite)
nun zurück zum Integrieren
statt einem Integral von einem grossen Bruch
hat man jetzt zwei Einzelintegrale von einfacheren,
kleineren Brüchen
hier laesst sich dann die Spezialregel der
Substitution anwenden:
wenn im Zähler die Ableitung vom Nenner steht,
dann ist ln|Nenner| die Stammfunktion
Stammfunktion von (2/5)Integral[1/(x+2)]
ist (2/5)*ln|x+2|
der Rest dürfte dann klar sein
noch ein Hinweis zu c)
da hier eine unecht gebrochen rationale Funktion
gegeben ist (Zählergrad > oder = Nennergrad) muss
erst mal eine Polynomdivision durchgeführt werden
man erhält dann einen ganzrationalen Teil und einen
echt gebrochenrationalen Teil
der echt gebrochenrationale Teil wird dann mittels
Partialbruchzerlegung umgeformt |
Michael H
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Februar, 2001 - 18:25: |
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zu c)
(x³-1)/(x²-x-12)
wie bereits oben erwähnt, weil Zählergrad (hier 3)
größer oder gleich als Nennergrad (hier 2) ist, Polynomdivision:
(x³-1)/(x²-x-12) = x + 1 + (13x+11)/(x²-x-12)
bei dem Bruch muss nun eine Partialbruchzerlegung
(=Aufteilen auf einfachere Brüche) durchgeführt werden:
Nullstellen des Nenners: -3 und 4
Nenner in Linearfaktoren: (x+3)(x-4)
Ansatz der Partialbruchzerlegung:
(13x+11)/(x²-x-12) = A/(x+3) + B/(x-4)
auf einen Nenner gebracht:
(A+B)x -4A+3B / (x+3)(x-4)
Koeffizientenvergleich der beiden Zähler:
13x+11 bzw. (A+B)x -4A+3B
A+b=13 und -4A+3B=11
LGS hat Lösung A=4 und B=9
also: (13x+11)/(x²-x-12) = 4/(x+3) + 9/(x-4)
und die gesamte Funktion:
(x³-1)/(x²-x-12) = x + 1 + 4/(x+3) + 9/(x-4)
und mit Integral:
Integral[((x³-1)/(x²-x-12))dx]
= Integral[( x + 1 + 4/(x+3) + 9/(x-4) )dx]
übrigens: y=x+1 ist die Gleichung der schiefen Asymptote
der unecht gebr.rat. Funktion
noch eine Frage:
in welchem Bundesland gehört die Partialbruchzerlegung zum Lehrplan?
meine Nachhilfeschüler (auch Mathe-LK) in Baden-Württemberg
machen das schon seit Jahren nicht mehr |
marc
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Februar, 2001 - 18:59: |
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In Niedersachsen wird es noch gemacht.(jedenfalls vor 3-4 Jahren). Leider kann ich es nicht mehr und muß es bis morgen für die Uni wieder wissen. :-( |
boa
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Februar, 2001 - 18:38: |
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in Hessen im LK wurde es auch gemacht (vor 17 Jahren zumindest :-)) |
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