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Katrin (Kiksy)
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Februar, 2001 - 15:19: | 
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Bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe.
Danke an alle, die es versuchen.
Katrin
ft(x) = ex-tx
die Tangente vom Ursprung an der Kurve erzeugt den Berührpunkt B.
Wie lauten seine Koordinaten.????
(t ist positiv) |
Holger (Matheholger)
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Februar, 2001 - 17:09: |
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Hi Kiksy!
Die gesuchte Tangente t ist eine Gerade und hat so die allgemeine Gleichung: y = mx + t (m ist die Steigung, t ist der y-Achsenabschnitt - hat nichts mit dem t der Aufgabe zu tun)
Nach Aufgabenstellung hat sie 3 Eigenschaften:
1. Verläuft durch den Ursprung - d.h. t = 0, also heißt die Gleichung y = mx.
2. Verläuft durch den Berührpunkt B.
Da wir B nich kennen, soll der die Koordinaten a und b erhalten. Also B(a/b). Wenn t durch B läuft, muss wenn man in die Geradengleichung für x die x-Koordinate von B einsetzt, die y-Koordinate von B herauskommen (statt y)
Also: statt
y = mx jetzt:
b = ma
b,m und a sind jetzt noch unbekannt. Viel zu viel!
Außerdem liegt B auf dem Graphen von f, also muss das gleiche auch für f gelten: setzt man für x in f jetzt a ein, so erhält man den y-Wert b.
Also: b = ea + ta
Dann ist schon das b weg in der Gleichung von oben:
ea + ta = ma
3. Ist Tangente - Das heißt die Steigung m von t ist so groß wie die Steigung des Funktionsgraphen von ft im Punkt B. Und der errechnent sich als die 1. Ableitung an der Stelle x = a (x-Koordinate von B)
f't(x) = ex + t
(t ist eine Konstante, bleibt also erhalten - wie bei (5x)' = 5)
a eingesetzt (für x):
f't(a) = ea + t
Jetzt wissen wir also, wie groß die Steigung m der Tangente ist:
m = ea + t
und setzen m in die Gleichung von oben ein:
aus
ea + ta = ma
wird
ea + ta = (ea + t)a
Hurra! Nur noch eine Unbekannte, nämlich a.
Vereinfachen wir:
ea + ta = ea*a + ta |-ta
ea = ea*a |: ea
1 = a
a war der x-Wert von B.
Für den y-Wert mussten wir diesen in f einsetzen:
y = e1 - t*1 = e - t
Also:
B(1/e-t)
Viele liebe Grüße von
Holger |
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