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Nadice (Nadice)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 19:50: | 
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Wer kann mir bitte bis So abend bei meinem Aufgabenblatt behilflich sein??? Da ich´s auch verstehen möchte, bräuchte ich außer der Rechnung auch Erklärungen dazu. Ich kenne zwar die Vorraussetzungen für die Berechnung, es haut bei mir aber einfach nicht hin! Also, bitte helft mir!:
ft(x)=t*x/(x-t)^2 ; t>0 ; Schaubild ist Kt.
a.) Untersuchen Sie Kt auf Schnittpunkte m. den Koordinatenachsen, Hoch-,Tief-und Wendepunkte, sowie auf Asymptoten. Geben Sie den Definitionsbereich Dt von ft an. Einzeichnen.
b.) Zeigen Sie, dass sich je zwei Kurven der Schar außer im Punkt (0/0) noch in genau zwei weiteren Punkten schneiden. Wie lauten diese?
c.) Der Punkt P(u/v) mit u>1 liege auf K1 im ersten Feld u. bilde m. der x-Achse u. der senkrechten Asymptote x=1 ein Rechteck.
Bestimmen Sie seine Fläche F(u) . Zeigen Sie: F(u) wird niemals extremal, F(u) ist für alle u>1 streng monoton fallend und F(u) strebt für u->unendlich einem festen Wert zu. Bestimmen Sie diesen.
d.) Die Geraden x=2 u. x=u mit u>2 begrenzen m. der x-Achse u. der Kurve K1 eine Fläche A. Berechnen Sie den Inhalt A(u).
Zur Erinnerung:
(§ hier Integralzeichen; §=Integral von a nach b)
1. - §u(x)*v'(x)dx=[u(x)*v(x)]-§u'(x)*v(x)dx
das Prinzip der partiellen Integration und :
2. - wenn f(x)=ln(x) dann f'(x)=1/x
die Ableitung des logarithmus naturalis
BITTE WER HAT ZEIT UND LUST MIR ZU HELFEN?????
Mein Abi naht, ich muss es bald können. Ist wirklich wichtig für mich!!!!! |
Daniel
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 18:47: |
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a) Def.bereich ist ganz IR{x|x=t}
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:
ft(x)=0 auflösen.
Extreemwerte: ft'(x)=0 auflösen (einsetzen der Ergebnisse in f'' nicht vergessen).
Wendepunkte: ft''(x)=0 auflösen (einsetzen der Ergebnisse in f''' nicht vergessen).
b) Setze ft(x)=ft'(x) => ....
c) zeichne Dir das mal auf, dann ist es eigentlich recht einfach diese Rechtecksfläche zu berechnen. In diesem Fall ist t=1
d) Berechne dazu ò2 u f1(x) dx
Viel Glück, wenn Du zwischendrin auf Schwierigkeiten stößt, dann frag einfach nochmal.
Daniel |
Nadice (Nadice)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 20:52: |
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Ich bin mir nicht ganz sicher bei den Ableitungen. Stimmt das: ft'(x)= -t(x+t)/(x-t)^3 ;
ft''(x)= 2t(x+2t)/(x-t)^4 ;
ft'''(x)= -6t(x+3t)/(x-t)^5 ;
??? richtig ??? |
Holger (Matheholger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 20:54: |
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Für das Rechteck brauchen wir die Länge l und die Breite b, denn der Flächeninhalt A ergibt sich aus A = l*b.
Dazu müsssen wir die Koordinaten der Eckpunkte kennen (wenigstens drei sind nötig, um l und b zu berechnen)
1. Punkt P:
Seine x Koordinate heißt u. Die y-Koordinate bestimmt man, indem man u in f1(x) einsetzt, da er ja auf K1 liegt:
y = u / (u-1)²
P(u / u/(u-1)²)
2. Punkt Q:
Das soll der Eckpunkt sein, der sich lotrecht unter P befindet. Seine x-Koordinate muss deshalb u sein.
Außerdem soll er auf der x-Achse liegen, also muss die y-Koordinate 0 sein.
Q(u / 0)
3. Punkt R:
Dies ist der Punkt, an dem sich die Asymptote x = 1 und die x-Achse schneiden. Na und welche Koordinaten hat der?
- Genau:
R(1 / 0)
Länge
Die Länge des Rechtecks ist die Entfernung von Q und R auf der x-Achse (R liegt links von Q, da für die x-Koordinaten von R und Q gilt: u > 1; die y-Koordinaten sind ja beide gleich)
Also ist die Länge die Differenz der x-Koordinaten:
l = u - 1
Breite
Die Breite des Rechtecks ist die Entfernung von Q und P, die denselben x-Wert haben. Also ist die Breite die Differenz der y-Koordinaten(eine davon ist Null, also nur die y-Koordinate von Q):
b = u/(u-1)²
Fläche
Jetzt müssen wir l und b nur noch in A = l*b einsetzen:
A= (u - 1)*u/(u-1)²
dann kürzen von (u-1):
A= u/(u-1)
A ist eine Funktion, da sie von u abhängig ist (statt x ist jetzt u die Variable) und soll nach Aufgabentext mit F(u) bezeichnet werden. Also:
F(u)= u/(u-1)
Jetzt kommt der Rest der Aufgabe:
"F(u) ist str. monoton.."
Dazu müssen wir F'(u) bilden (Quotientenregel):
| F'(u)= | (u-1)*1 - u*1
---------------
(u-1)² | = | u-1-u
--------
(u-1)² | = - | 1
--------
(u-1)² |
Da der Nenner dieses bruchs > 0 ist, ist der ganze Bruch und damit die Ableitung F'(u) > 0. Und das heißt F ist streng monoton abnehmend.
(Anschaulich nur für dich J: Je weiter P und Q nach rechts rutschen ( u wird da größer) umso kleiner wird die Rechtecksfläche.)
Jetzt kommt der Grenzwert für x -> ¥:
lim
x ->¥ | F(u) | = | lim
x ->¥ | u
-----------
(u-1) | = | lim
x -> ¥ | u/u
--------------
u/u - 1/u |
Liebe Grüße Holger |
Holger (Matheholger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 21:00: |
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Die drei Ableitungen sind völlig richtig! SUPER! |
Holger (Matheholger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 21:04: |
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Nadice, ich komme morgen wieder, sorry - aber viellecht kommst du doch damit jetzt weiter!
Liebe Grüße
Dein Holger |
Nadice (Nadice)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 23:46: |
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Also die c.) war super klar erklärt! Danke! Die b.) hab ich nicht fertig machen können: ich habe ft1 und ft2 gebildet und diese dann gleichgesetzt. Doch mit dem Ausrechnen hat es dann nicht geklappt! Also auf diese Weise haben wir es gelernt einen weiteren Schnittpunkt zu finden bei einer Kurvenschar.
Ich danke dir für die Mühe und hoffe dass du mir noch öfters helfen kannst.Die c hast du so klar erklärt, da kommt die einem richtig einfach vor.Vielen lieben Dank.
Liebe rüße,
Nadice |
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