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Peg
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 16:18: | 
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Hi, ich hoffe ihr könnt mir helfen
Gegeben seien die Punkte P (9,0,0), R (1,8,4) T (12,0,0) und die Gerade g durch U (3,4,4) und V (4,4,3)
a: Bestimme je eine Parametergleichung und eine Koordinatengleichung für die Ebene E1 (PQR) und die Ebene E2 (TUV)
b: Bestimme eine Gleichung der Schnittgeraden s von E1 und E2. Berechne die Surchstoßpunkte von s durch die Koordinatenebenen.
c: Zeige, dass die Geraden s und h (QT) windschief seid und berechne ihren Abstand. Bestimme einen Punkt S von s und einen Punkte H von h so, dass Stecke HS der Abstand dieser beiden Geraden sei
d: Welchen Abstand hat der Punkt R von der Geraden g?
e: Zeichne die Ebenen E1 und E2 mit Hilfe ihrer Spurgeraden sowie die Gerade g, h, s und die Punkte H und S in das Schrägbild eines Koordinatensystems ein. |
Holger (Matheholger)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 17:03: |
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Hi Peg!
Ebene PQR
Die darfst du nachher selber probieren. Denn der Punkt Q fehlt in deiner Angabe. Aber das geht dann genauso wie bei der anderen Ebene.
Ebene TUV
Bei einer Ebene in Parameterform braucht man immer 3 Vektoren:
1. Den Ortsvektor a des Aufhängepunktes A (beliebiger Punkt auf der Ebene)
2. Den 1. Richtungsvektor u (beliebiger Vektor, der 2 Punkte auf der Ebene verbindet)
3. Den 2. Richtungsvektor v (darf nicht in die selbe Richtung wie u zeigen!)
Dann setzt man alles in die Gleichung
E: x = a + lu + mv
ein.
Bei unsere Aufgabe verwenden wir als Aufhängepunkt z.B. den Punkt T. Also ist der Ortsvektor (oben a) hier:
Als Richtungsvektor u verwenden wir den Verbindungsvektor von U nach T (Ortsvektoren voneinander abziehen u - t):
| u | = | (
(
( | 3
4
4 | )
)
) | - | (
(
( | 12
0
0 | )
)
) | = | (
(
( | -9
4
4 | )
)
) |
Als Richtungsvektor v verwenden wir den Verbindungsvektor von T nach V (Ortsvektoren voneinander abziehen v - t):
| v | = | (
(
( | 4
4
3 | )
)
) | - | (
(
( | 12
0
0 | )
)
) | = | (
(
( | -8
4
3 | )
)
) |
Setzen wir das in die rote Formel ein, dann ergibt sich:
| E2: | x = | (
(
( | 12
0
0 | )
)
) | +l | (
(
( | -9
4
4 | )
)
) | +m | (
(
( | -8
4
3 | )
)
) |
Das ist die Parameterform von E2.
Mit E1 geht's genauso, du musst nur die drei anderen Punkte PQR statt TUV verwenden.
Rest folgt!
Liebe Grüße
Holger |
Holger (Matheholger)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 17:16: |
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Jetzt kommt die Koordinatengleichung von E2:
Dazu brauchst du die Gleichung von E2 und ersetzt dabei
.
Dann liest du diese Gleichung Zeilenweise. Das ergibt ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und den 5 Variablen l,m, x1, x2 und x3:
x1
x2
x3 | =
=
= | 12
0
0 | -
+
+ | 9
4
4 | l
l
l | -
+
+ | 8
4
3 | m
m
m | |
.
Hier musst du l und m eliminieren und dann hast du eine Gleichung mit x1,x2und x3. Dies ist die Koordinatenform.
Eine etwas leichtere Lösung ist die Koordinatenform als Normalenform aufzufassen. Ich weiß nicht, ob ihr das schon gehabt habt?
Sagt dir das was?
Dann löse ich sie lieber mit dieser Methode. |
Holger (Matheholger)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 17:59: |
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Obwohl auch das ganz gut geht:
Ziehe die 3. Gleichung von der 2. ab, dann erhältst du:
I' x2-x1 = m
addierst du 2* die 2. Gleichung zur ersten, dann hast du:
x1+2x2 = 12 - l
und so
II' 12 - x1 - 2x2 = l
Setzt man nun für m und l die Gleichungen I' und II' in die 3. Gleichung von oben ein, dann ergibt sich:
x3 = 0 + 4*(12 - x1 - 2x2) + 3 *(x2 - x1)
x3 = 48 - 4x1 - 8x2 + 3x2 - 3x1
x3 = 48 - 7x1 - 5x2
Bringt man alles auf die linke Seite, so dass rechts 0 steht, dann nennt man das die Koordinatenform von E2.
E2: 7x1 + 5x2 + x3 - 48 = 0
Kann sein, dass ich nen Rechenfehler gemacht habe. Aber ich hoffe, das Prinzip hast du verstanden.
Liebe Grüße
Holger |
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