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Flo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 08:31: | 
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Eine zylinderförmige aufrecht stehende Tonne mit dem Durchmesser 0.8m und der Höhe h= 1m ist bis 20 cm unter dem oberen Rand mit Wasser gefüllt. Welche Arbeit wird verrichtet, wenn man das Wasser über den oberen Tonnenrand abpumpt.
Ich wäre Dir sehr dankbar, wenn Du mir hilfst.
Flo |
voilà
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 09:15: |
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v=hmax*d^2/4*pi
vfüll=(hmax-h)*d^2*2/4*pi
dw=m*g*dh
m=v*rho
dw=vfüll*rho(h2o)*d^2*2/4*pi*g*dh
dw=(hmax-h)*d^2*2/4*pi*rho(h2o)*g*dh mit g=9.81 m/s^2
das integriere man von h1=hmax-0.2
bis h2=0 und voilà! |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 09:22: |
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Hi Flo!
Meine Bezeichnungen sind:
H = Gesamthöhe des Zylinders = 1m
h = Anfangsstand des Wassers = 20cm
d = Durchmesser = 0.8 m
Die zuverrichtende Arbeit bleibt ja gleich, wenn wir das Wasser nicht pumpen, sondern in kleine Scheiben schneiden und nach oben rausheben.
Und zwar schneiden wir das Wasser parallel zur Grundfläche des Zylinders in möglichst viele möglichst dünne zylindrische Scheiben. Jede Scheibe ist nun ein Zylinder mit einer Grundfläche von p*r²=p*d²/4 und einer sehr kleinen Höhe Dy.
Das Volumen einer solchen Wasserscheibe ist nun
Grundfläche*Höhe=p*d²/4*Dy
Wenn ich nun eine bestimmte Wasserscheibe in der Höhe y über dem Boden herausheben will, dann brauche ich dafür eine Arbeit von Masse*Ortsfaktor*Höhe.
Masse ist hierbei = Dichte*Volumen = Dichte*p*d²/4*Dy
Höhe ist hier die Gesamthöhe H - y.
Die Arbeit für die Wasserscheibe in Höhe y über dem Boden ist also
Dichte*p*d²/4*Dy * Ortsfaktor * (H-y)
=p/4*Ortsfaktor*Dichte*d²*(H-y)Dy
Nun müssen wir ja nicht nur eine Scheibe herausheben, sondern alle Scheiben in der Höhe von 0 bis h.
Wenn wir nun die Scheibendicke Dy gleichzeitig gegen 0 streben lassen, können wir das als Integral schreiben:
Gesamtarbeit W = ò0 hp/4*Ortsfaktor*Dichte*d²*(H-y)dy
= greek{p}/4*Ortsfaktor*Dichte*d²*ò0 h(H-y)dy
= greek{p}/4*Ortsfaktor*Dichte*d²*[Hy-y²/2]0h
=greek{p}/4*Ortsfaktor*Dichte*d²*(Hh-h²)
=greek{p}/4*Ortsfaktor*Dichte*d²*h*(H-h).
So, das müsste es sein. Einsetzen kannst Du selber, da habe ich keine Lust dazu; hoffe ich hab keine Fehler gemacht.
Ciao
Cosine |
Flo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 12:04: |
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Hey,Danke für die ausführliche Hilfe. Ich werde es mir jetzt mal angucken.
Flo |
Flo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 12:16: |
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Hey Cosine,
Zwei Fragen: Was ist der Ortsfaktor und was bedeutet: greek(p)??
Flo |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 21:24: |
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Hi Flo
Zwei Antworten:
greek(p) ist ein Schreibfehler meinerseits und sollte eigentlich "\greek{p}" heißen, was in diesem Mathe-Board automatisch als "p" angezeigt wird.
Kurz: greek(p) sollte eigentlich "p" heißen.
Der "Ortsfaktor" wird meistens mit g bezeichnet und ist gleichbedeutend mit der "Erdbeschleunigung" oder der "Gravitationsfeldstärke". Es gibt noch eine Menge anderer Bezeichnungen.
Jedenfalls nimmt man in der Praxis meistens
g = 9,81 m/s^2
wie schon in der Kurzform von "Voilà" geschrieben.
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen.
Ciao
Cosine |
Flo
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 18:47: |
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Hey Cosine,
Danke!!
Flo |
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