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Beitrag |
    
Katrin
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 14:45: | 
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ft(x)= (x-t)e^-x
t ist Element R
Die Gerade mit der Gleichung x=u
(u>-2) schneidet die X-Achse in P und die Kurve K-2 in Q.
Der Schnittpunkt n ( Nullstelle) und K-2 mit der X -Achse und pq bilden ein Dreieck mit der Fläche A(u)
Für welches u wird A maximal???
(Kleine Info:K-2 bedeutet das t in diesem Fall -2 ist)
Bitte brauch Hilfe komm nicht weiter |
Holger (Matheholger)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 16:19: |
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Hallo Katrin!
Also zuerst musst du die Koordinaten der Punkte P Q und N finden:
Punkt P:
Die Gerade x = u (x-Wert ist immer u und der y-Wert ist beliebig) schneidet die x Achse (Hier ist y = 0) im Punkt P(u;0)
Punkt Q:
Die Gerade x = u (x-Wert ist immer u und der y-Wert ist beliebig) schneidet die die Kurve K-2 dort, wo der x-Wert u ist.
ft(x) = (x - t)e-x
wird zu (t = -2; x = u)
f-2(u) = [u - (-2)]e-u
f-2(u) = [u + 2]e-u
Also hat der gesuchte Punkt die Koordinaten
x = u
y = (u + 2)e-u
Q(u/(u + 2)e-u)
Punkt N:
Die y-Koordinate ist 0. Für die x-Koordinate setzt man
f-2(x) = 0
(x + 2)e-x = 0
Da e... immer >0 ist, also auch e-x, kann dieses Produkt nur dann Null werden, wenn der 1. Faktor Null ist, also (x+2) = 0 oder x = -2.
So erhält man: N(-2/0)
Jetzt kommt das Dreieck:
Die Eckpunkte N (-2/0) und P(u/0) liegen auf der x-Achse und ihre Entfernung (Differenz der x-Werte) bildet die Länge g der Grundlinie:
Da u > -2, liegt P rechts von N und so ist die Differenz positiv, wenn man den rechten minus den linken Punkt nimmt:
g = u - (-2)
g = u + 2
Um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu bestimmen, braucht man noch die Höhe h. Dies ist der y-Wert des Punktes Q. Denn die Höhe ist die Entfernung von Q zur x-Achse. Das ist eben der y-Wert.
Also:
h = [u + 2]e-u
Jetzt muss man g und h in die Formel A = 1/2 g*h einsetzen und erhält:
A = 1/2 (u+2)*(u + 2)e-u}
A = 1/2 (u+2)² e-u
A ist jetzt abhängig von u. A ist also eine Funktion mit der Variablen u. Man könnte also statt A auch f und statt u auch x sagen:
A = 1/2 (u+2)² e-u
wird zu
f(x) = 1/2 (x+2)² e-x
Den maximalen Flächeninhalt erhältst du, wenn f(x) ein Maximum hat. Also ableiten und das Maximum bestimmen.
Viel Glück
Holger |
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