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Anne
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 13:26: | 
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Kann mir jemand das Prinzip von Cavalieri und die Guldnische Regel erklären?????? |
Ysanne
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 17:15: |
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Also das zweite kenne ich nicht (wenn du mir sagst was es ist, kann ich vielleicht sagen warum es so ist). Cavalieri ist aber eigentlich ganz einfach.
Das Prinzip ist ziemlich ähnlich zu dem des Integrierens, d.h. ich habe zB da eine Fläche, sagen wir mal ein Parallelogramm, von dem ich Höhe und Grundlinie kenne. Und dann ein Rechteck mit selber Gl und Höhe. Die Frage ist, wie man die Flächen vergleichen will. Cavalieri sagt folgendes:
Schneide die Flächen in zur Grundlinie parallele, dünne Streifen. Und zwar ziemlich unendlich dünne. Diese Streifen sind dann beim Rechteck genauso lang wie beim Parallelogramm. Und da es genauso viele und genauso dicke sind, addieren sie sich also beim Parallelogramm zur gleichen Fläche wie die des Rechtecks.
Noch ein Beispiel:
Nehmen wir mal an, du hast einen Kegel mit Grundfläche G und Höhe H, und einen Tetraeder mit Gf = G und Höhe H. Dann geht das genauso: Du schneidest die beiden Körper in ganz feine Scheiben. Die Fläche einer solchen Scheibe ist dann doch, in Abhängigkeit von der Abschneide-Höhe h (=Strecke von Spitze bis Schnitt) G*h/H (Strahlensatz). Also ist jeder gegebenen Höhe h die Kegel-Scheibe genauso groß wie die Tetraeder-Scheibe. Da sich aus diesen Scheiben die Körper zusammensetzen, sagt Cavalieri, daß sie auch gleiches Volumen haben müssen.
Die Verbindung zur Integration kommt etwa da, daß man Volumen da berechnet, indem man die Funktion, die den Körper beschreibt, nach allen 3 Richtungen (x,y,z Achse!) integriert. Was du bei den Scheiben gesehen hast, war der zustand nach 2mal integrieren. Das 3tte mal Integrieren passierte, als man die Scheiben für unendlich dünn erklärt und sie dann trotzdem zu einem 3D-ganzen zusammengezählt hat.
Vergleiche das (und die Sache mit dem Rechteck) damit, wie du beim "normalen" Integrieren im Endeffekt unendlich dünne Stäbe zu einer Fläche zusammensetzt. |
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