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Katrin
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Februar, 2001 - 19:43: | 
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Eine Urne enthält sehr viele schwarze und weisse Kugeln. Jemand stellt die Hypothese auf, dass der Anteil der schwarzen Kugeln höchstens 40 % ist. Um diese Hypothese zu überprüfen, werden der Urne Kugeln mit Zurücklegen entnommen. Die Hypothese soll abgelehnt werden, wenn mehr als 43 % der gezogenen Kugeln schwarz sind. Wie groß muss n mindestens gewählt werden, wenn dei Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art höchstens 1 % betragen soll ?????
Bräuchte die Lösung noch heute !
Danke an alle die es versuchen !!! |
Wm_Markus (Wm_Markus)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 12:05: |
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Leider nur eine Vermutung : erstmal die Laplace-
formel n*p*(1-p)>=9. (Hier gehts schon los -> was
ist p (0,4? 0,99?) n=Anzahl Versuche). Aus dem Buch, das gerade vor mir liegt werde ich leider
auch nicht richtig schlau......
WM_leiderleider Markus |
Holger (Matheholger)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 13:30: |
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Hallo Katrin und Markus!
Die Nullhypothese lautet hier: p £ 40%.
Das heißt, man nimmt den Extremfall p = 40% (oder p = 0,4) an.
Fehler erster Art bedeutet, dass man die Hypothese H: "höchstens 40% sind schwarz" ablehnt, obwohl tatsächlich 40% schwarz sind.
Nur, wann lehnt man die Hypothese ab?
Das macht man, wenn mehr als 43% der gezogenen Kugeln schwarz sind. Zieht man n Kugeln, dann lehnt man H ab, wenn unter diesen n Kugeln mehr als 0,43*n Kugeln schwarz sind. Nennt man die Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln X, dann lehnt man H ab, wenn X > 0,43*n
Wir brauchen also die Wahrscheinlichkeit, beim n-maligen Ziehen mit Zurücklegen, mehr als 0,43*n schwarze Kugeln zu ziehen, wenn die Wahrsch., eine schw. Kugel zu ziehen, p = 0,4 beträgt.
Abgekürzt interessiert uns also
Pn0,4 (X > 0,43*n)
Diese Wahrsch. ist die Wahrsch. für den Fehler 1. Art und soll höchstens (£) 1% (=0,01) betragen.
Pn0,4 (X > 0,43*n) £ 0,01
Jetzt muss man noch Pn0,4 (X > 0,43*n) ersetzen mit der Normalverteilung F(x).
Dazu muss man aber in der Klammer von Pn0,4 (X > 0,43*n) ein £-Zeichen haben, bei uns steht ein >. Deshalb gehen wir über zum Gegenereignis:
Statt X > 0,43n X£ 0,43n.
Statt P(..) müssen wir aber 1-P(..) schreiben.
Also:
1 - Pn0,4 (X£0,43n) £ 0,01
- Pn0,4 (X£0,43n) £ -0,99 |*(-1)
Pn0,4 (X£0,43n) ³ 0,99 (*)
Jetzt kommt die Normalverteilung F:
Hierfür gilt:
P(X£k) = F((k-np+0,5)/(npq)1/2).
Also wird aus Gleichung (*):
F((k-np+0,5)/(npq)1/2)³ 0,99
Das in der großen Klammer nennt man auch Argument X von F.
Wir wollen also jetzt wissen, für welche Argumente X der Wert F(X) ³ 0,99 ist.
In einem Tafelwerk liest man nach, dass
F(X) = 0,98983 für X = 2,32
F(X) = 0,99010 für X = 2,33
Für größere X wird auch F(X) größer.
Also ist X = 2,33 unser gesuchtes Argument, von dem an gilt F(X) ³ 0,99
Jetzt setzen wir unser Argument
((k-np+0,5)/(npq)1/2)
größer gleich 2,33 und lösen nach n auf.
Die Buchstaben haben folgende Bedeutung:
n ist bei uns gesucht
p = 0,4
q = 1 - p = 0,6
k = 0,43*n
(0,43*n-0,4*n+0,5)/(n*0,4*0,6)1/2 ³ 2,33
(0,03*n+0,5)/(n*0,24)1/2 ³ 2,33
(0,03*n+0,5) ³ 2,33 * (n*0,24)1/2
(0,03*n+0,5) ³ 2,33 *0,241/2* n1/2 (0,03*n+0,5) ³ 1,14* n1/2 |²
(0,03*n+0,5)² ³ 1,14²* n |²
0,0009 n² + 2*0,03*0,5 n + 0,25 ³ 1,302936 n²
Verwende die Lösungsformel und löse nach n auf. Beachte, dass n positiv ist!
Viel Glück
Holger |
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