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fritz552
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 23:19: | 
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Brauche dringend Hilfe zu folgender Aufgabe:
Aus einer Kugel mit dem Radius R, soll ein symmetrischer Doppelkegel mit maximalen Volumen geschnitten werden. wie groß sind die Höhe h und Radius r der Grundfläche des Einzelzylinders und wie groß ist das maximale Volumen des Doppelkegels? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Februar, 2001 - 22:38: |
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Hi Fritz,
Es handelt sich um eine Extremalaufgabe mit einer
Nebenbedingung aus der Stereometrie.
Der Radius des Grundkreises bei einem der eingeschriebenen
Rotationskegel (Spitze im Mittelpunkt M der Kugel) sei r,
seine Höhe sei mit h bezeichnet
Dann lautet die genannte Nebenbedingung :
r^2 + h^2 = R^2 (R:Kugelradius)....................................(NB)
Aus Gründen der Zentralsymmetrie der Konfiguration
bezüglich M genügt es, die Rechnung für einen der beiden
Kegel durchzuführen.
Volumen V = 1/3 * Pi* r ^ 2 * h mit (NB) kommt:
V =1/3*Pi* [ R^2 * h - h^3];
Um die Extremalstelle zu finden, genügt es, den Inhalt f(h)
der eckigen Klammer nach h abzuleiten.
Wir erhalten f '( h ) = R^2 - 3 h ^2 und f '' ( h ) = - 6 h > 0 .
f ' ( h ) ist null für h = R / wurzel(3) ; für diesen Wert von h
wird das Volumen V eines Kegels und auch das Volumen 2*V
des Doppelkegels maximal.
Der zugehörige Wert von r berechnen wir mit (NB) und erhalten:
r = R* wurzel(2/3) .
Das maximale Volumen des Doppelkegels ist
2 V= 1 / 9 * wurzel(3) * 4/3"Pi*R^3 , also etwa 19.2% des Kugelvolumens.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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