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Beitrag |
    
fritz552
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 23:10: | 
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Wer kann mir helfen: Eine Eisenbahnstrecke soll zwischen den Orten A(1,5;5,5) und B (3,5;8,5) als Kreisbogen mit dem Radius 3 km verlaufen. Bis zum Ort D soll die Strecke so weiter geführt werden, dass der Kreisbogen in eine Gerade übergeht.
a) Bestimmen Sie die Gleichung des kreises
b) Berechen Sie den Übergangspüunkt C
c) Berechnen Sie die gesamte Streckenlänge von A bis D (12;3?) |
Curious (Curious)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 15:18: |
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Mann, ist das von den Zahlen her eine blöde Aufgabe. Die Kreisgleichung hab' ich schon, aber der Punkt C...
Rechnet ihr exakt oder sind Näherungswerte erlaubt?
Bis wann brauchst du die Aufgabe eigentlich?
Ciao |
fritz552
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 18:57: |
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Hi Curious,
erst einmal vielen Dank für Deine Hilfe.
Eigentlich rechnen wir schon exakt, aber es langt auch mit Näherungswerten. Hauptsache ich verstehe erst einmal die Vorgehensweise. Ich brauche die Aufgabe zu Montag. |
Curious (Curious)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 10:31: |
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Hallo Fritz552,
ich bin einfach mal Inschenör-mäßig an die Aufgabe gegangen und habe das ganze auf dem Reißbrett konstruiert:
1. Kreis mit Radius R=3 um A und B schlagen.
Der Schnittpunkt beider Kreise innerhalb des Dreiecks ABD ist der Mittelpunkt des Kreises, um A und B mit dem Kreisbogen zu verbinden.
2. Einen glatten Übergang vom Kreisbogen AB in eine Gerade durch D erhält man nur, wenn man den Übergangspunkt C so wählt, daß seine Tangente durch den Punkt D geht.
3. Die Länge der Strecke AD ist nun die Länge des Kreisbogens AC plus der Länge des Geradenabschnitts CD.
Nun rechnerisch:
Kreisgleichung: (x-x0)² + (y-y0)² = R² bzw.
x² + y² + 2dx + 2ey + f = 0 mit (x0,y0) = (-d,-e) und R² = d² + e² - f
Chordalengleichung: (Gleichung der Geraden durch die beiden Kreisschnittpunkte, wird auch Potenzlinie genannt)
(d1-d2) + (e1-e2) + ½(f1-f2) = 0
(bekommt man heraus, wenn man die Gleichung beider Kreise gleichsetzt)
Tangentengleichung: Tangente in C=(x‘,y‘)
(x‘-x0)(x-x0) + (y‘-y0)(y-y0) – R² = 0
zu 1.
(i) Kreis um A: x² + y² -3x -11y +23,5 = 0
(ii) Kreis um B: x² + y² -7x -17y +75,5 = 0
=> (iii) Chordale: 2x + 3y –26 = 0
(iii) nach x auflösen und in (i) einsetzen
=> y² - 2*7y + 614/13 = (y-7)² - 23/13 = 0
=> y1,2 = 7 ± 4/3 (Näherung)
wieder in (iii) einsetzen
=> x1,2 = -(-5/2 ± 2)
=> M = (x0, y0) = (9/2,17/3)
Also hat der gesuchte Kreis um M mit Radius R=3 die Gleichung
(x-4,5)² + (y-5,67)² = 9 bzw.
(iv) x² + y² -9x –34/3 y +1561/36 = 0
zu 2.
Tangente in C=(x‘,y‘), die durch D=(12,3) geht
(v) (x‘-4,5)(12-4,5) + (y‘-5,67)(3-5,67) –9 = 15/2 x‘ – 8/3 y‘ – 995/36
(v) nach x auflösen, in (iv) einsetzen und Ergebnis in (v) einsetzen ergibt dann näherungsweise
C = (x‘,y‘) = (6,5 , 7,91)
zu 3.
Länge des Geradenabschnitts CD:
Sqrt[(12-6,5)²+(3-7,91)²] = 7,37
Mit dem Cosinussatz (c² = a² +b² +2ab*cosg) läßt sich bei drei bekannten Seiten eines Dreiecks der c gegenüberliegende Winkel mit
g = arccos[(a²+b²-c²) / 2ab]
und damit die Bogenlänge x = g * R bestimmen. Dann ist für das Dreieck AMC (a=AM, b=MC, c=AC)
Bogen(AC) = 3*g = 3* arccos[(9+9-AC²) / 18] = 7,09
Also Länge (AD)=14,46
Nun hoffe ich nur, daß ich mich nicht verrechnet habe... |
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