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Sabrina
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 14:13: | 
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Wir schreiben gerade eine Facharbeit über das Thema : Flächenschwerpunkt und das Volumen von Rotationskörpern. Dabei haben wir das Problem, dass wir nicht wissen, wie wir auf die Formel:
V=PI*Integral(von a-b) (f²(x)-g²(x))*dx kommen.
Unser Problem liegt dabei vor allem auf dem f² und g².Wäre cool, wenn uns dabei jemand helfen könnte! |
Michael H
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 17:35: |
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zum besseren Verständnis erst mal ein ganz
normaler Rotationskörper, dessen Fläche zwischen
dem Schaubild der Funktion f und der x-Achse
sowie den beiden begrenzenden Geraden x=a und
x=b rotiert:
V=p*Integral von a bis b [f²(x)dx]
man kann sich das Volumen als Summe unendlich
vieler Zylinderscheiben mit dem Radius f(x0) und
der Breite dx (mit dx gegen 0) vorstellen
das Volumen einer Zylinderscheibe berechnet sich
mit p*f²(x0)*dx
das Volumen des Rotationskörpers ist die Summe
der Zylinderscheiben
es ist das gleiche Prinzip wie bei der Flächenberechnung mittels
vieler Rechtecke (Ober- oder Untersumme).
Dies ist in fast allen Mathebüchern beschrieben
Beim Rotationskörper hat man es nicht mit Rechteckflächen
sondern mit Zylinderscheiben zu tun
rotiert die zwischen den Funktionen f und g
eingeschlossene Fläche um die x-Achse, dann
erhält man einen Rotationskörper, der in der
Mitte einen Hohlraum hat
Das Volumen dieses Körpers berechnet sich als
Differenz des Rotationskörpers der durch die
äussere Begrenzungsfunktion entsteht und dem
Volumen des Hohlkörpers, der durch die innere
Begrenzungsfunktion entsteht
f sei die äußere, g die innere Begrenzungsfunktion
dann gilt:
Vx=Integral[p*f²(x)*dx] - *Integral[p*g²(x)*dx]
nach den Rechenregeln für Integrale kann man Konstanten
vor das Integral ziehen und die Integrale zu einem zusammenfassen:
Vx=pIntegral[(f²(x)-g²(x))dx] |
Michael H
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 17:46: |
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ist es jetzt klar, warum es f² heisst?
in der Kreisflächen- und der Zylindervolumenformel
wird das Quadrat vom Radius verwendet
der Grund, warum f²-g² verwendet wird und nicht
(f-g)² ist der gleiche wie bei einem Kreisring:
die Fläche eines Kreisrings ist die Fläche des
ganzen Kreises (pi*r1²) minus die Fläche
des inneren Kreises (pi*r2²)
also F=pi*r1²-pi*r2²=pi(r1²-r2²)
wenn man es beim Kreisring verstanden hat,
dann versteht man es auch beim Rotationskörper
mit Hohlraum
V=V1-V2=pi*r1²*h-pi*r2²*h=pi(r1²-r2²)*h
da der Radius sich je nach Funktionswert
ändert, muss das Volumen in lauter kleine
Teilvolumen zerlegt werden --> Integration
dx entspricht dann der Höhe h
und f(x) entspricht r1 und g(x) r2 |
Sabrina
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Februar, 2001 - 15:24: |
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Danke erst einmal. Ich muß jetzt erst einmal alles durcharbeiten. Kann mich dann ja noch mal melden. |
Annika
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. März, 2001 - 17:04: |
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auch ich schreib eine Facharbeit zum Thema Rotationskörper, hab jedoch dazu eine andere Formel bekommen. Leider verstehe ich folgende nicht: V= PI*Integral [f(x)]^2dx
Das Integral liegt in den Grenzen zwischen a und b!
Wäre echt nett wenn ihr mir helfen könntet!! |
Nikki
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 08:56: |
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Hallo!
Na ja, die Herleitung läuft so:
Bei euch rotiert ein Graph um die x-Achse.
Man ersetzt nun den Rot.körper durch einen volumengleichen Zylinder.
Die Höhe ist b-a, die Grundfläche ist pi*(Mittelwert der Funktion)^2.
Na ja, und der kommt halt aus dem Integral von f^2, siehe MWS der Integralrechnung. Das b-a kürzt sich raus, und es bleibt die obige Formel, et voilà!
Das war's. |
Annika
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 17:57: |
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Ich werd´s noch mal durchgehen! Danke schon mal |
ivonne
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. November, 2011 - 18:05: |
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kann mir jmd helfen ich soll kurz und verständlichen erläutern: das prinzip der berechnung eines volumens eines rotationskörpers am einfachen fall eines liegenden zylinders.. das wär echt nett wenn ich eine antwort bekommen würde :-) |
has
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. März, 2012 - 17:00: |
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hallo ich hätte eine frage und zwar muss zur berechnung des abflussrohrs volumen und oberfläche berechnen wie geht das ich bräuchte dringend hilfeeeeeeeeeeeeee |
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