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Tanja (Adriane)
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Februar, 2001 - 16:01: | 
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geg.: ft(x)=(t-e^x)^2 ; tER
bitte helft mir bei dieser Frage, ist wirklich sehr dringend!!!
Für t>0 begrenzt das Schaubild von ft, seine Asymptote und die Gerade mit der Gleichung X=u,
(u>0) eine Fläche. Berechne den Rauminhalt V(u) des Drehkörpers, der entsteht, wenn diese Fläche um die Asymptote des Schaubildes rotiert. Bestimme lim V(u) "für u gegen -(Unendlich)".
Ich hab schon einen Ansatz aber komme nicht weiter.
Mein Ansatz:
V= Pi*Integral(unterer punkt =u;oberer;Punkt=t^2) von(ft(x))^2dx.
ft(x)^2=(t-e^x)^4.
Mehr hab ich leider nicht, ich hab nämlich keine Ahnung von Stammfunktionen...
Ich wäre euch sehr zu Dank verpflichtet!!!!!!!
Danke!!!!!
In liebe, Tanja |
Holger (Matheholger)
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Februar, 2001 - 16:42: |
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Hallo Tanja!
Schau dir noch mal die Aufgabenstellung an. Die Aufgabe macht nur dann einen (tieferen) Sinn, wenn entweder f(x) = (t - e^(-x) )^2 da steht, oder wenn u < 0 (dann wäre u gegen minus unendlich der gesuchte Grenzwert).
Wenn du mir schreibst, ob da ein Fehler drin ist, mach ich gerne weiter.
Bis gleich
Holger |
Tanja (Adriane)
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Februar, 2001 - 19:05: |
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Sorry, du hast recht, es muß u<0 sein!!!!
Ich wäre Dir sehr verbunden wenn Du mir weiter helfen könntest.
PS: Der Rest der Funktion stimmt aber; es muß
ft(x)=(t-e^x)^2 heißen.
Ich danke Dir sehr.
In Liebe, Tanja |
Tanja (Adriane)
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Februar, 2001 - 20:01: |
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Holger,bist Du noch da?
Bitte hilf mir, ist wirklich wichtig.
"Bitte"- ich wäre Dir sehr dankbar.
Ich verzweifle schon halb weil ich nicht auf diesen blöden Rauminhalt komme. |
Tanja (Adriane)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 14:50: |
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Hallo! Seid ihr noch da.
Brauche wirklich dringend jemanden der mir bei dieser Aufgabe hilft.
Bitte!!!!!!!!
Eure, Tanja |
Holger (Matheholger)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Februar, 2001 - 18:26: |
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Hi Tanja!
Sorry, dass ich dich so lange habe warten lassen.
Aber ich hab am Montag ne Stunde oder 2 auf dich gewartet und gestern war ich leider nicht drin. Ich hoffe, dass ich dir auch heute noch helfen kann.
Grundsätzliches zur Volumenbestimmung von Rotationskörpern:
Wenn du den Rauminhalt von irgendeinem Rotationskörper bestimmen willst, ist es nich schlecht, wenn man weiß, wie der ungefähr aussieht.
Rotiert zum Beispiel eine Strecke, die zur x-Achse parallel ist, um die x-Achse, dann entsteht ein Zylinder (Cola-Dose). Die Höhe des Zylinders ist die Länge der Strecke, sein Radius genau der Abstand der Strecke von der x-Achse.
Rotiert eine Strecke, die schräg veläuft ist, um die x-Achse, dann entsteht ein Kegel oder Kegelstumpf (Räucherkerze).
Um das Volumen eines solchen Rotationskörpers zu berechnen, zerlegt man ihn in ganz dünne Scheiben. Diese sehen aus wie Zylinder mit einer ganz kleinen Höhe. Die Rauminhalte der Zylinder errechnen sich als
Vi = r² p h
Der Radius r ist der Abstand der rotierenden Linie von der x-Achse. Rotiert ein Funktionsgraph, so ist das der Funktionswert an der Stelle x.
Also r = f(x)
Die Höhe ist ein Stück entlang der x - Achse und wird als Differenz zweier x-Werte berechnet. Deshalb wird sie mit Dx bezeichnet:
Vi = r² p Dx
Aber eigentlich wollen wir ja gar nicht das Volumen von einem einzigen Zylinder, sondern wir wollen ja das Volumen des Rotationskörpers, das wir in dünne Scheiben zerlegt haben.
Also müssen wir all diese Volumen aufsummieren - und wenn die ganz dünn sind, braucht man immer mehr von ihnen. Und genau das heißt integrieren.
Unendlich viele unendlich dünne Scheiben addieren.
Der Radius ist also f(x), die dünne Höhe nennt man (weil sie unendlich klein ist) dx. und schon kanns losgehen:
Vi = [f(x)]² p dx
und der gesamte Rauminhalt:
V = òa b[f(x)]² p dx = p òa b[f(x)]² dx
a und b sind die x-Werte, bei denen die rotierende Linie anfängt, bzw. aufhört.
Bei deiner Aufgabe kommt noch ne Schwierigkeit dazu: Es rotiert eine von 2 Linien begrenzte Fläche. Das bedeutet, dass der Rotationskörper, der durch den Graphen von der Asymptote y = t² (die parallel im Abstand t² zur x-Achse verläuft) entsteht, ein Loch hat.
Also muss man den Rauminhalt von diesem Loch (entsteht durch die Rotation vom Funktionsgraphen von ft) wieder abziehen.
Asymptote verläuft nämlich oberhalb des Graphen und ist bei der Rotation somit außen!
Für f(x) setze ich also dann einmal t² ein, dann ziehe ich das Loch ab, wobei ich hier für f(x) jetzt ft(x) einsetzen muss.
Also ergibt das:
V = pòa b[t²]² dx - pòa b[ft(x)]² dx
Jetzt müssen wir uns noch über a und b Gedanken machen:
Bei a fängt das Gebilde an (linke Grenze) Bei b hört das Ganze auf (rechte Grenze).
Also ist a = u und b = 0. Denn die rot. Fläche wird durch die senkrechte Gerade bei u und durch die y-Achse (x-Wert 0) begrenzt.
Also ergibt sich, wenn wir jetzt alles einsetzen:
V = pòu 0t4 dx - pòu 0[t-ex]4dx
V = pòu 0t4 dx - pòu 0[t-ex]4dx
Der Rest ist eine ziemlich lange Rechnung, die ich dir gleich noch nach liefere.
In Liebe
Holger |
Holger (Matheholger)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Februar, 2001 - 19:24: |
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Das erste Integral ist
[t4x]u0 =
t4u (*)
t ist keine Variable, deswegen wird da nicht t5/5 draus, sondern t ist eine Konstante wie z.B. 4 oder 121 oder J, und daraus wird beim Integrieren 4x oder 121x oder Jx.
Das andere ist sehr gemein. Denn da muss man erstmal die binomische Formel (a+b)4 kennen:
(a-b)4 = a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4
Für unsere Aufgabe ergibt sich:
(t+ex)4 = t4 - 4t3ex + 6t2e2x - 4te3x + e4x
(ex)2 ist dasselbe wie e2x!
Beim Integrieren musst du wieder daran denken, dass t konstant ist.
Aus ex wird ex
Aus e2x wird 1/2 e2x
Aus e3x wird 1/3 e3x
Aus e4x wird 1/4 e4x
Denn die Ableitung vom jeweils rechten muss das linke ergeben, weil Ableiten das Gegenteil vom Integrieren ist!
Z.B. (1/4 e4x)' ergibt (mit Kettenregel):
1/4 e4x*4 = e4x. Also stimmt's!
Jetzt kommt das 2. Integral:
Setze erst mal das ein, was wir oben aus (t-ex)4 gemacht haben und integriere dann Summand für Summand. Du erhältst:
òu 0[t4 - 4t3ex + 6t2e2x - 4te3x + e4x]dx =
[t4x - 4t3ex + 3t2e2x - 4/3 te3x + 1/4 e4x]u0 =
[t4u - 4t3eu + 3t2e2u - 4/3 te3u + 1/4 e4u]-
[t4*0 - 4t3e0 + 3t2e2*0 - 4/3 te3*0 + 1/4 e4*0]=
[t4u - 4t3eu + 3t2e2u - 4/3 te3u + 1/4 e4u]+ 4t3 - 3t2 + 4/3 t - 1/4 (**)
(Beachte, dass die Stammfunktion nicht null ergibt, wenn man für x die untere Grenze null einsetzt.)
Jetzt kommt das Volumen. Hier müssen wir den Term (**) von gerade vom Term (*) abziehen und mit p multiplizieren.
V = p[t4u - (t4u - 4t3eu + 3t2e2u - 4/3 te3u + 1/4 e4u+ 4t3 - 3t2 + 4/3 t - 1/4)]
V = p(t4u - t4u + 4t3eu - 3t2e2u + 4/3 te3u - 1/4 e4u- 4t3 + 3t2 - 4/3 t + 1/4)
Komplizierter Term!
(Falls euch übrigens euer Lehrer die Aufgabe erfunden hat, hat er bestimmt einen Fehler gemacht. Die Terme werden deshalb so lang weil man beim Volumen erst die Terme quadrieren muss und dann subtrahieren muss. Er hat bestimmt erst subtrahiert und dann quadriert - und das ist zwar viel einfacher, aber leider falsch!)
So, jetzt zum Rest der Aufgabe:
Wenn u nach -¥ läuft, dann wird eu zu Null und alle Terme mit e fallen weg. Es bleibt nur noch:
V = p(- 4t3 + 3t2 - 4/3 t + 1/4)
Hoffentlich hast du jetzt alles verstanden. Also ich bin jetzt k.o. (Ich glaube, ich sitze jetzt seit 2 Stunden hier!)
In großer - 2 Stunden langer - Liebe
Dein Holger J J J |
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