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Steffen (Euron)
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Februar, 2001 - 15:20: | 
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Hallo,
Ich stehe zur Zeit vor einem Rätsel. Um bei kubischen Gleichungen die Cardanischen Gleichungen die "Cardanische Formel" anwende zu könne muss ich die Normalform [ax^3+bx^2+cx+d=0] mit x=y-b/(3a) substituieren, um auf die reduzierte Form y^3+py+q=0 zu kommen.
Meine Frage lautet jetzt:
Wieso muss ich die Normalform eigentlich ausgerechnet mit x=y-b/(3a) substitieren und nicht mit irgendeinem anderen Term?
Bis jetzt bin ich nur auf den Begriff lineare Transformation gestoßen, der mit aber nichts sagt. Könnt ihr meinem Frage beantworten und sagen, was das mit der linearenm Transformation auf sich hat?
Bitte!! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 07:46: |
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Hi Steffen,
Das Rätsel löst sich beinahe von selbst, indem wir die
Transformation im Detail ausführen.
Die gegebene kubische Gleichung lautet ( a = 1 , o.B.d.A ):
x ^ 3 + b x ^ 2 + c x = + d = 0
Wir führen eine neue Variable (Unbekannte) y ein durch die
Substitutionsgleichung
x = y + u mit einer noch zu bestimmenden Konstanten u.
Wir werden eine Bedingung dafür aufstellen, dass die neue
Gleichung in y kein quadratisches Glied mehr enthält ,
wie es die Auflösungsmethode von Cardano verlangt.
Aus dieser Bedingung folgt eine Gleichung für u.
Mit diesem u -Wert ergeben sich die Koeffizienten p, q
in der neuen kubischen Gleichung, welche so angesetzt sei:
y^3 + p y + q = 0
Vorbereitung: Berechnung von x^2 und x^3 aus der
Substitutionsgleichung:
x^2 =(y+u)^2 = y^2 + 2 uy + u^2
x^3 = (y+u)^3 = y^3 + 3 y^2 u + 3 y u ^2 + u ^ 3.
Setzt man diese Werte in die gegebene kubische Gleichung ein
und ordnet schön nach Potenzen von y, so kommt:
y^3 + [3u+b]y^2 + [3u^2 + 2ub + c] y + [ u^3 +u^2 b+cu +d] = 0
Aus der Bedingung, dass kein Glied mit y^2 auftreten soll, folgt
die erste eckige Klammer ist null,
also u = - b / 3
(Du findest diesen Wert auch in Deinem Text für a = 1)
Die zweite eckige Klammer setzen wir gleich p , die dritte gleich q.
Mit u = - b/3 kommt nach kurzer Rechnung:
p = -1/3 b ^2 + c
q = 2/27 b^3 - 1/3 bc + d
So steht's auch geschrieben in Formelsammlungen.
Ich bin der Meinung, dass bei numerischen Beispielen nicht fertige
Formeln eingesetzt werden sollten, sondern dass man den hier
vorgeführten Rechengang selbständig nachvollzieht und dabei das
Rad jedesmal neu erfindet.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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