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knorker
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Februar, 2001 - 14:03: | 
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meine nachricht ist eine frage zur stochastik/wahrscheinlichkeitsrechnung :
die aufgabe lautet, zeige, dass es fuer das zufallexperiment werfen eines wuerfels gerade 64 verschiedene ereignisse gibt. z.b. die ergebnismenge (1,2,3,4,5,6)
beweis dafuer das es gerade 64 ereignisse gibt ist, dass 2^6=64 ist. rechnerisch nicht unheimlich schwer nachzuvollziehen aber mathematisch fuer mich nicht einleuchtend. ich hasse es etwas in der mathematik zu benutzen ohne es von grund auf zu verstehen.
danke fuer wohlmoegliche hilfe |
beef
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 11:09: |
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Hallo Knorker!
Die Frage ist, wie viele Teilmengen du aus der Ergebnismenge bilden kannst.
Zum Beispiel der Muenzuwurf:
E={z,k}
Die Potenzmenge ist dann:
P={leere Menge, sicheres Ereignis (also E), z,k}
=2^2
Oder 2 Muenzen:
E={zz,zk,kz,kk}
also |P|= 2^4=16 naemlich:
P={
leere Menge, E,
{zz},{kk},{zk},{kk},
{zz,kk}, {zz,kz}, {zz,zk}, {kz,zk},{kk,zk},{kk,kz}
{zz,kk,zk},{zz,kk,kz},{zz,kz,zk},{kk,zk,kz}
}
Oder anders formuliert: Du ziehst aus den 4 Elementen der Ergebnismenge 0 (=leere Menge),1,2 und 4 (=Ergebnsimenge selber) heraus.
Auf wie viele Arten geht das?
Gerade auf (4 ueber 0)=1
+ (4 ueber 1)=4
+ (4 ueber 2)=6
+ (4 ueber 3)=4
+ (4 ueber 4)=1
und das ist gleich 2^4.
Nun und das gilt wegen des Binomischen Lehrsatzes:
(a+b)^n= Summe (i=0 bis n)
(n ueber i) *a^n * b^(n-i)
a=b=1 und du siehst das ergebnis!
Beef
Tut mir leid, dass ich diese Sonderzeichen nicht kann. Aber es sollte klar geworden sein. |
Ysanne
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 17:06: |
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Es geht da auch so ein Trick.
Stell die Elementarereignisse Deiner Ergebnismenge hintereinander, hier also (1,2,3,4,5,6). Wie könntest du nun alle möglichen Ereignisse (also Teilmengen) dieser Menge zählen? Einfach indem Du alle Möglichkeiten, einige Elemente zu nehmen, andere jedoch sein zu lassen, zählst. Klingt verdächtig nach Umformulieren, ist es aber nicht. Stell Dir das mal so vor: Unter die Elemente, die Du nimmst, schreibst du eine 1, unter das was du nicht nimmst, eine 0. Also etwa so für ein paar Teilmengen:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
Die Anzahl verschiedener Auswahl-Zeilen ist doch die Anzahl verschiedener Teilmengen, denn genau die bestimmen ja, was in eine Teilmenge reinkommt oder nicht. So. Diese Zeilen kann man aber auch als Zahlen im 2er System sehen. Mit bis zu 6 Stellen. Die Anzahl möglicher Zeilen ist also genau so groß, wie man im 2ersystem mit 6 Stellen Zahlen darstellen kann.
Tja, 26 ist die erste Zahl, die man mit 6 Stellen nicht mehr hinbekommt (111111 = 25+24+...+20=26-1). Die 0 können wir aber auch noch darstellen. Insgesamt also genau 26 Zahlen.
Das ganze 2er rumwurschteln kannst du auch vermeiden, wenn Du Dir einfach sagst, daß Du bei jeder Teilmenge für jedes der 6 Elemente 2 Möglichkeiten hast: Nehmen oder nicht nehmen. Und dann: Beim Ersten hab ich 2 Möglichkeiten. Bei jeder von diesen fürs Zweite auch 2 Möglichkeiten. Insgesamt schon 4. Für jede dieser Möglichkeiten kann ich mich fürs dritte Element wieder auf 2 Arten entscheiden -- also schon 8 Möglichkeiten. usw. |
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