| Autor |
Beitrag |
    
Frank Mattheis (Thumb)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Februar, 2001 - 20:30: | 
|
Hallo !
Ich brauche eure Hilfe zu folgeneder Aufgabe:
Eine Halbkugel mit dem Radius r soll ein Zylinder mit möglichst großem Volumen einbeschrieben werden!
Danke!! |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Februar, 2001 - 23:24: |
|
Skizzieren wir mal den Querschnitt der beiden Figuren:
Wir sehen also, dass der Radius rZ des Zylinders der Variablen x entspricht, während die Höhe h des Zylinders dem Funktionswert y=g(x) entspricht, wobei g den Halbkreisbogen umschreibt.
Zuerst stellen wir noch die Formel für das Volumen eines Zylinders auf:
V=prZ2h
Setzt man nun x=rZ und g(x)=h, dann ergibt sich für die Volumenfunktion f folgende Gleichung:
f(x)=px2*g(x)
Jetzt kümmern wir uns nur noch um die Funktion g. Wir kennen das Verhältnis zwischen x,y und dem Radius r des Kreises, das lautet:
x2+y2=r2
Formt man dieses um und löst nach y auf, so erhält man für die positive (obere) Hälfte des Kreises:
y=Wurzel(r2-x2)
Diesen Term setzt man nun in f für g(x) ein:
f(x)= px2*Wurzel(r2-x2)
= p*Wurzel(r2x4-x6)
Um das Maximum zu finden, bildet man die Ableitungsfunktion f'(x):
f'(x)= p*(4r2x3-6x5)/2Wurzel(r2x4-x6)
= p*(2r2x3-3x5)/Wurzel(r2x4-x6)
= p*x3(2r2-3x2)/Wurzel(r2x4-x6)
Nun setzt man diese gleich Null:
f'(x)=0
Es muss ja nur der Zähler gleich Null werden:
x3(2r2-3x2)=0
Setzt man voraus, dass x¹0, dann kann man durch x3 teilen:
2r2-3x2=0
3x2=2r2
x2=2/3*r2
x=Wurzel(2/3*r2)=r*Wurzel(2/3)
Ich glaube, es muss nicht mehr gezeigt werden, dass die ein Maximum ist (mit f''(x)), wenn du jedoch möchtest kannst du es ja tun...
Jetzt r*Wurzel(2/3)für x in f(x) einsetzen und schon hast du eine Gleichung, die sich mit etwas Glück etwas vereinfacht.
So ich gehe jetzt pennen, muss früh aufstehen... |
Knnom
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. November, 2001 - 18:57: |
|
Hallo
wie kommen wir auf x²+y²=r², wieso kennen wir das Verhältnis der beiden zueinander? Bittze erklärt mir das! :-)
Bis dann |
chnueschu
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. November, 2001 - 08:14: |
|
hallo.
wenn du die obige skizze betrachtest, siehst du es ganz gut knnom:
die punkte (x,y), (0,0) und (x,0) bilden die eckpunkte eines rechtwinkligen dreiecks mit den seitenlängen x, y und r.
dort wendest du den pythagoras an und schon hast du die gewünschte gleichung...
gruss chnüschu. |
|
