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Beitrag |
    
Joanna Moustaklis (Joanna)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Februar, 2001 - 19:11: | 
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Hi, ihr lieben! Kann mir einer bei folgender Aufgabe helfen(würd mich auch ganz doll freuen!):
Für jedes t>0 ist eine Funktion f gegeben durch f(x)=e-e^tx.
Untersuche das Schaubild von f(=K) auf Schnittp. mit den Koordinatenachsen(samt den Steigungen in diesen Punkten) und auf Asymptoten. Zeige:
Die Tangenten aller Kurven K im Schnittp. von K mit der x-Achse haben einen Punkt gemeinsam. Gib ihn an! UND:
Die Tangente und die Normale im Schnittp. von K mit der y-Achse schneiden aus der x-Achse eine Strecke aus. Für welche Kurve K wird die Länge dieser Strecke extremal(????was ist das?) ? Ist es ein Maximum oder ein Minimum? Gib den Extremwert der Streckenlänge an!
So, bitte so ausführlich wie möglich- ich würde das echt gerne verstehen!! Danke mein/e Retter/in ;-)! |
Dieter
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Februar, 2001 - 16:40: |
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Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen:
x-Achse: e-etx=0 => ... nach x auflösen
y-Achse: y=e-e0t => y=e-1
Asymptoten sind keine vorhanden.
Soweit verstanden?
Versuch den nächsten SChritt mal selbst. Kannst Dich ja mit einem Ergebnis oder gezielten Fragen wieder hier melden.
Dieter |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Februar, 2001 - 16:55: |
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Hi Joanna,
Zuerst ermitteln wir die Schnittpunkte U und V einer
allgemeinen Kurve der Schar mit den Koordinatenachsen.
Da wir in diesen Punkten auch die Steigungn benötigen,
leiten wir f(x) mit Hilfe der Kettenregel nach x ab:
f ' (x) = - t * e ^ ( t x )
1.
Schnittpunkt U mit x-Achse: setze y = 0 ;es kommt x = 1 / t ,
also U( 1/ t ; 0 )
Steigung mU der Tangente u in U: x = 1/ t in f ' einsetzen
mU = f ' (1/ t) = - t * e .
Gleichung der Tangente u : y = - t * e * ( x - 1/ t )
oder y = - t * e * x + e.
Wir stellen fest, dass diese Tangenten die y- Achse alle
im Punkt F( 0 / e ) unabhängig von der Wahl von t schneiden.
Somit ist F der gesuchte im Text erwähnte gemeinsame Punkt.
2:
Asymptoten.
Für x gegen minus unendlich strebt f(x) gegen e, weil der
zweite Summand von e bei diesem Prozess gegen null strebt.
Die zur x Achse parallele Gerade y = e ist somit eine
sogenannte horizontale Asymptote.
Andere Asymptoten gibt es offenbar nicht.
Fortsetzung folgt !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Februar, 2001 - 18:11: |
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Hi Joanna,
Es geht gleich weiter !
Der Schnittpunkt V einer Scharkurve mit der y-Achse
ergibt sich, indem wir in der Funktionsgleichung x = 0 setzen.
Wir erhalten als y -Koordinate von V:
yV = e - 1 .
Die Steigung mv einer Tangente v in V ist f '(0 ) = - t.;
eine Normale n in diesem Punkt hat die Steigung
mn = - 1 / mt = 1 / t
Die Gleichungen von v und n lassen sich leicht ermitteln:
Gleichung der Tangente v in V : y - yV = mt *x , also
y - e + 1 = - t * x oder y = - t * x + e - 1
Diese Tangente schneidet die x-Achse im Punkt A mit
xA = (e-1) / t , yA = 0
Gleichung der Normalen n in V: y - yV = 1/t * x
oder y = 1 / t * x + e - 1 .
Diese Normale schneidet die x-Achse im Punkt B
mit xB = t* ( 1 - e).
Achtung: xA ist stets positiv, xB dagegen stets negativ
Die im Text erwähnte Strecke s muss positiv sein,
somit setzen wir s = AB = xA - xB = (e-1) / t + t* (e-1)
Diese Streckenlänge s ist eine Funktion von t:
s = s(t).
Um den Extremalwert (Maximum. oder Minimum )
zu finden, leiten wir s nach t ab:
s ' ( t ) = - (e-1) / t^2 + e - 1
s ' ist null für t^2* (e - 1 ) = e - 1 , also für t^2 = 1
t = 1 liefert das gesuchte Extremum.
Es handelt sich um ein Minimum, denn die zweite Ableitung
s '' ist an der Stelle t=1 und überhaupt positiv;
es gilt nämlich s '' = 2* ( e - 1 ) / t ^ 3.
Diese minimale Streckenlänge ist, wie man durch einsetzen
von t = 1 leicht findet:
s min = 2 * (e-1).
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. ; als Retter ! |
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