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ChrisR (Chrisr)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Februar, 2001 - 14:28: | 
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Hi!
Die Funktion f ist gegeben durch f(x)=1/4x^3-3/4x^2-9/4x+11/4 .Zeige , dass die Tangenten in den Extrempunkten von f mit dem Graphen von f jeweils Flächen mit gleichem Flächeninhalt einschließen.
Zunächst habe ich mit der Kurvendiskussion begonnen , d.h.
Sy(0 / 11/14)
T(3/-4)
H(-1/4)
W(1/0)
Doch wie geht es jetzt weiter?
Danke im Voraus
Chris |
Michael H
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Februar, 2001 - 15:12: |
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wichtig bei solchen Aufgaben: immer eine Skizze
machen! meist hilft bereits die gezeichnete
Funktion
hier ist wichtig zu wissen, dass die Tangenten
in den Extrempunkten immer die Steigung 0 haben,
also parallel zur x-Achse verlaufen
deshalb kann man die beiden Tangentengleichungen
direkt angeben:
t1: y=4 waagrechte Tangente durch den Hochpunkt
t2: y=-4
nun soll die Fläche zwischen der Tangenten t1
und f berechnet werden
die Integrationsgrenzen sind die gemeinsamen Punkte der Tangenten mit dem Schaubild von f
Funktion f = Tangente t1
f(x)=4
etwas vereinfacht:
x³-3x²-9x-5=0
erste Lösung bereits bekannt: x1=-1
abspalten von (x-x1) hier also (x+1) durch
Polynomdivision oder mittels Hornerschema:
(x+1)(x²-4x-5)=0
2. und 3. Lösung durch pq-Formel: x2=5, x3=-1
man erhält dann S(5|4) als zweiten gemeinsamen
Punkt der Tangenten t1 mit der Funktion f
Flächeninhalt:
A1=Integral von -1 bis 5 [ t1 - f ]
t1 ist obere, f untere Funktion
A1=Integral von -1 bis 5 [ 4 - (1/4x^3-3/4x^2-9/4x+11/4) ]
(...)
zweite Tangente:
t2: y=-4
f(x)=-4
vereinfacht:
x³-3x²-9x+27=0
erste Lösung x1=3 bekannt, Linearfaktor (x-3) abspalten:
(x-3)(x²-9)=0
x1=3, x2=-3, x3=3
zweite Fläche:
A2=Integral von -3 bis 3 [ f - t2 ]
f ist obere, t2 untere Funktion
A2 = Integral von -3 bis 3 [1/4x^3-3/4x^2-9/4x+11/4 - (-4)]
(...)
A1 und A2 müssten gleich gross sein
falls noch was unklar sein sollte,
bitte nochmals melden |
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