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Beitrag |
    
thomas
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Februar, 2001 - 11:58: | 
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wie berechne ich z.B. volumen und Mantelfläche einer bierflasche?????? |
Michael H
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Februar, 2001 - 14:16: |
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prinzipiell:
Skizze vom Querschnitt ins Koordinatensystem
einzeichnen
x-Achse als Symmetrieachse
Begrenzungslinie durch (eine oder mehrere) Funktionsgleichung(en) annähern
und Rotationskörper berechnen |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Februar, 2001 - 14:19: |
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Die allgemeine Formel für die Berechnung von Volumina von Rotationskörpern, die durch Rotation eines Graphen von f(x) um die x-Achse entstehen, lautet:
V=pòa bf2(x) dx
Für die Mantelfläche ist sie komplizierter:
M=2pòa bf2(x)*Wurzel(1+f'(x)) dx
Jetzt die Flasche:
Ich schnappe mir eine Flasche B***s (keine Schleichwerbung) und vermesse sie grob (in 3 Teile unterteilt. Ich erhalte folgende Kurve:
Wir sehen also den Graphen einer stückweise definierten Funktion mit D=[0;26] und der Funktionsgleichung:
____x/12+1,25 für 0£x<9
f(x)=x/2-2,5 für 9£x<12
____3,5 für 12<£x£26
Bei der Integration muss man also auch stückweise vorgehen:
V=pò0 26f2(x) dx
=p[ò0 9(x/12+5/4)2 dx + ò9 12(x/2-5/2)2 dx + ò12 26(7/2)2 dx]
=p[ò0 9(x2/144+5x/24+25/16) dx + ò9 12(x2/4-5x/2+25/4) dx + ò12 26(49/4) dx]
=p{[x3/432+5x2/48+25x/16]90 + [x3/12-5x2/4+25x/4]129+[49x/4]26\-12}}
=\greek[(27/16+135/16+225/16)+(144-180+75-243/4+405/4-225/4)+(637/2-147)]
=p(387/16+93/4+343/2)
=p(387+372+2744)/16
=p*3503/16
=~ 687,81
Is' 'n bisschen mehr als ein halber Liter, aber die Flasche war ja stark vereinfacht und sowohl das Glas als auch die Luft in der Flasche wurden mitberechnet.
So, mir raucht der Kopf. Der Mantel wird später berechnet... |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Februar, 2001 - 15:12: |
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Na also, hat sich da doch der Fehlerteufel eingeschlichen. Nicht in die Rechnung, sondern in die Formel für die Mantelfläche. Richtig ist:
M=2pòa bf(x)*Wurzel(1+f'(x)) dx , also kein Quadrat, wie beim Volumen. |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Februar, 2001 - 16:07: |
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Nö, ich habe keine Zeit mehr. Hier nur die Lösung:
M=~516,47 cm2
Ach ja: Bei der Volumenberechnung steht am Anfang der fünften Zeile \greek. Das ist ein Formatierungsfehler und soll für p stehen. |
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