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Beitrag |
    
patman
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Februar, 2001 - 16:43: | 
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scharfunktion: f(x,k)=(k*ln(x)-1)^2 mit k aus R{0} und x aus R+
a)Suche gemeinsame schnittpunkte der schar!
b)Suche Ortskurve der Wendepunkte |
Michael H
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Februar, 2001 - 18:17: |
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a)
gemeinsame Punkte:
zwei verschieden k: k1 und k2, k1 ungleich k2
dann Funktionsgleichungen gleichsetzen und x ausrechnen:
[k1*ln(x)-1]² = [k2*ln(x)-1]²
k1²ln²(x)-2k1*ln(x)+1 = k2²*ln²(x)-2k2*ln(x)+1
(k1²-k2²)ln²(x)-2(k1-k2)ln(x)=0
(k1-k2)ln(x)*[(k1+k2)ln(x)-2]=0
k1 und k2 sind ungleich und somit ist k1-k2 ungleich 0
ln(x)=0 oder (k1+k2)ln(x)=2
nur erste Lösung ist unabhängig von k
x=1 bzw S(1|1) ist gemeinsamer Punkt aller Funktionen der Schar
b)
Ableitungen:
fk(x)=(k*ln(x)-1)²
fk'(x)=2(k*ln(x)-1)*(k/x)=(2k²/x)ln(x)-(2k/x)
fk''(x)=-2k²/x²ln(x)+(2k²/x)*(1/x)+(2k/x²)
fk''(x)=-2k²ln(x)/x² + 2k²/x² + 2k/x²
fk''(x)=0 ==> -2k²ln(x)+2k²+2k=0
-2k²ln(x)=-2k²-2k
ln(x)=1+1/k
x=e1+1/k
y=f(e1+1/k)=(k*(1+1/k)-1)²=k²
WP(e1+1/k|k²)
Ortskurve in Parameterform:
x=e1+1/k
y=k²
Gleichung der Ortskurve durch Elimination von k:
k=1/[ln(x)-1] aus x=e1+1/k
in y=k² eingesetzt:
y=1/[ln(x)-1]²
Hinweis:
ln²(x) ist a1ndere Schreibweise für [ln(x)]² |
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