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klaus
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Februar, 2001 - 09:04: | 
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Hallo Leute,
brauche folgenden Beweis:
Zeigen Sie, dass für die 3 Schnittwinkel (W1,W2,W3) einer beliebigen Ebene mit der Koordinatenachsen im 3-dimensionelen gilt:
(cosW1)^2+(cosW2)^2+(cosW3)^2=1
Thanks a lot!
Best regards Klaus |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Februar, 2001 - 22:25: |
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Hi Klaus,
die genannten Winkel w1 ,w2 ,w3 sind die Winkel eines
Normalenvektors n = {a,b,c} der gegebenen Ebene E mit den
Basiseinheitsvektoren i = {1; 0; 0 }, j = { 0;1; 0 }, k = { 0 ; 0 ;1 }
eines orthonormierten Koordinatensystems.
Die Kosinuswerte dieser Winkel heissen Richtungskosinus der
Ebene E.
Für diese gilt der einfache Satz.
Die Summe der Quadrate der Richtungskosinus ist eins.
Beweis
Mit Skalarprodukten bilden wir die fraglichen Kosinuswerte:
cos (w1) = n . i / [ abs (n) * abs( i) ]
cos (w2) = n . j / [ abs (n) * abs (j)]
cos (w3) = n .k / [ abs (n) * abs (k) ]
In den Zählern stehen Skalarprodukte, deren Werte der Reihe nach
lauten : a ; b ; c
Die Beträge der Einheitsvektoren im Nenner sind alle 1.
Der Betrag von n ,also abs (n ), ist R = wurzel ( a^2+b^2+ c^2 )
Bildet man nun die Quadratsumme der drei Kosinuswerte ,
so erhält man:
cos^2 (w1) + cos^2 (w2)+ cos^2 (w3) =
= a^2 / R^2 + b^2 / R^2 + c^2 / R^2 = 1
w.z.b.w.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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