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Beitrag |
    
Jenny Gazar (Sweetpoison)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Februar, 2001 - 09:34: | 
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Gegeben sind eine Ebene E: 2X1-3X3=o, ein Punkt P(2/8/3) sowie eine Ebenenschar Ea 4+2a)X1+8X2+(2-a)X3 = 3a+10
a) Bestimmen Sie für die Ebenen E0 und E1 (d.h.a=0 bzw. a=1) eine Gleichung der Schnittgeraden g und ihren Schnittwinkel alfa.
b)Wie liegt g in Bezug auf die Ebenenschar Ea?
c)Untersuchen Sie die gegenseitige LAge von g und E und bestimmen Sie entweder den Abstand oder die Schnittpunktskoordinaten und den Schnittwinkel.
d) Zeigen Side, dass die Ebene E nicht zur Schar Ea gehört und bestimmen Sie eine Zahl a0 € IR so, dass die zugehörige Ebene Eao zur Ebene E senkrecht ist.
e) Welche Ebene aus der Schar Ea enthält den Punkt P? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Februar, 2001 - 10:19: |
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Hi Jenny ,
Vorbemerkungen
Wir werden bald erfahren, dass die gegebene einparametrige
Ebenenschar Ea ein Ebenenbüschel darstellt,
Darunter versteht man alle Ebenen ,welche durch eine
feste Gerade g gehen; g heisst Achse des Ebenenbüschels.
Für x1, x2 ,x3 schreibe ich x , y , z .
Und nun geht's zur Aufgabe selbst !
a) Setzen wir in Ea für a der Reihe nach a = 0 und a = 1 ein,
so erhalten wir die (gekürzten) Ebenengleichungen für
E0 : 2x + 4y + z = 5
E1: 6x+ 8y + z = 13
Wir ermitteln zwei Punkte A und B der Schnittgeraden g
Der beiden Ebenen.
Für A setzen wir z = 0 in die Gleichungen von E1 und E2 ein.
Es entsteht das Gleichungssystem :
2 x + 4y = 5
6 x + 8y = 13
mit den Lösungen x = 1.5, y = 0.5 , also: A( 1,5 / 0,5 / 0)
Für B setzen wir x = 0;es kommt:
4 y + z = 0
8 y + z = 13
mit den Lösungen y = 2 und z = -3 , also: B( 0 / 2 / - 3 ).
Der Vektor AB = r = {-1,5;1,5;-3} ~ - 3/2* {1 ; -1; 2 } ist
Ein Richtungsvektor der Schnittgeraden g ;deren
Parametergleichung lautet somit:
x = 0 + t , y = 2 - t , z = - 3 + 2 t mit t als Parameter.
Der Schnittwinkel alpha ergibt sich mit Hilfe der Skalarprodukts
aus den Normalenvektoren no , n1 der Ebenen E0 und E1:
no = {2 ; 4 ; 1} , n1 = {6 ; 8 ;1}
cos (alpha) = (no . n1 ) / [abs(no) * abs(n1) ] =
= (12 + 32 + 1) / [ wurzel (2^2+4^2+1^2)*wurzel (6^2+8^2+1^2)]
= 45 / [wurzel(21) * wurzel(101)] , daraus alpha ~12.28°
b) wir können leicht nachweisen, dass g allen Ebenen der Schar
angehört und somit die Achse des Ebenenbüschels darstellt.
Wir setzen die Koordinaten x , y . z des laufenden Punktes von g
Aus der Geradengleichung in die Ebenengleichung Ea ein,
und wir erleben, dass die Gleichung Ea für alle t Werte erfüllt ist:
wunderbarerweise heben sich alle Terme weg !
Die Rechnung geht so:
(4+2a)* t + 8 * ( 2 -t ) + ( 2 - a ) * (- 3 + 2 t) = (?) 3a + 10
Vereinfachung der linken Seite L.
L = 4t + 2at + 16 - 8t - 6 + 3a + 4 t - 2 at = 10 + 3a
L stimmt mit der rechten Seite völlig überein; alle Terme mit t
Fallen weg !
Fortsetzung folgt !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Februar, 2001 - 13:38: |
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Hi Jenny,
Teilaufgabe c)
Die Gerade g : x = t , y = 2 - t , z = - 3 + 2 t
schneidet die Ebene 2 x - 3 z = 0
in einem Punkt S.
Wir setzen x , y , z aus der Geradengleichung in die
Ebenengleichung ein und bekommen eine Gleichung für t ,
nämlich:
2 t - 3 * ( - 3 + 2 t ) = 0 , daraus t = 9 / 4;
damit erhält man für die Koordinaten von S:
xS = 2,25, yS = - 0,25 , zS = 1,5.
Der Schnittwinkel von g und E sei beta.
Wir berechnen zunächst den Winkel gamma
des Normalenvektors n = {2; 0; -3} von E
und des Richtungsvektors r = {1;-1; 2} von g
cos (gamma) = n . r / [abs( n )* abs ( r ) ] =
= ( 2 - 6 ) / [wurzel (13 ) * wurzel ( 6 ) ] = - 0.4529.
gamma ~ - 63.07°.
Wir wählen den Betrag von gamma und ergänzen auf 90°
Damit erhalten wir beta ~26.93°
Teilaufgabe d)
Da g die Ebene E in genau einem Punkt S schneidet (Teilaufgabe c),
kann E nicht dem Ebenenbüschel mit g als Achse angehören.
Das sieht man auch am folgenden Rechengang
Wäre E eine Ebene der Schar Ea , so müsste die fortlaufende
Proportion gelten:
2 / (4+2a) = 0 / 8 = -3 /(2-a) = 0 / (3a+10)
Schon das erste Gleichheitszeichen führt auf einen Widerspruch !
Wenn Ea auf E senkrecht stehen soll, muss das Skalarprodukt
der Normalenvektoren der Ebenen null sein,
somit haben wir die Bedingung:
(4+2a)*2 +8*0 + (2-a) *(-3) = 0 oder:
8 + 4a - 6 + 3a = 0 , daraus a = - 2 / 7 .
Teilaufgabe e )
Die Koordinaten von P (2/8/3) müssen die Gleichung von Ea
befriedigen:
(4+2a)*2 + 8* 8 +(2-a)*3 = 3a + 10,
daraus a = 34.
Damit sind alle Fragen beantwortet !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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