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Beitrag |
    
karlos
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Juli, 2002 - 17:50: | 
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l. Betrachten Sie den reellen Vektorraum Pß der Polynome von höchstens 3. Grad. a) V1 sei Untervektorraum von P3 und V1= <f1, f2, f3, f4> mit f1(x) == -x3 + 2x, f2(x) = x3 - 6x2 + 3x - l,
f3(x) = -x3 - 18x2 + 17x - 3, f4(x) = -4x3 + 6x2 + 3x + l. Untersuchen Sie, ob f1, f2, f3, f4 linear abhängig oder unabhängig sind. Geben Sie die Dimension von V1an.
und
b) Sei F: P3 > P3 f(x) = ax3 + bx2 + ex + d
(a, b, c, d e R)
f >g g (x) = 3ax2 + 2bx + c
Zeigen Sie, dass für alle fi, fj f e P3 und k e [R gilt
1. F(fi, + fj) = F(f,) + F(fj)
2. F(z * f) = z* F(f)
c) Sei f e P3 durch F(f) = g* mit g*(x) = 6x2 - 4x+3 (mit F aus Aufgabenteil b)!)
bestimmt.
Untersuchen Sie, ob die so definierte Menge V1 von Polynomen einen Unter-
vektorraum von P3 bildet, also V2 = {f e P3 | F(f) = g*).
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Miguel
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Juli, 2002 - 18:39: |
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Hallo Karlos,
zum Beispiel bei f2(x)= x3 - 6x2 + 3x - |
Was bedeuten die roten Buchstaben? |
Graby
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Juli, 2002 - 22:41: |
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Hallo Karlos, schreib doch Deine Polynome mal richtig auf! |
karlos
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Juli, 2002 - 10:20: |
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es ist etwas zu wenig platz deswegen sorry
also
a) Betrachten Sie den reellen Vektorraum Pß der Polynome von höchstens 3. Grad. a) V1 sei Untervektorraum von P3 und V1= <f1, f2, f3, f4> mit
f1(x)= -x3 + 2x
f2(x) = x3 -6x2+3x-1
f3(x) = -x3- 18x2+ 17x- 3
f4(x) = -4x3 + 6x2 +3x +1
Untersuchen Sie, ob f1, f2, f3, f4 linear abhängig oder unabhängig sind. Geben Sie die Dimension von V1an.
b)P3 -> P3 f(x) = ax3 + bx2 + cx +d
{
f -> g g((x)= 3ax2 +2 bx +c
a,b,c,d e R
zeigen sie dass für alle fi,fj,f e P3
und P3 e R gilt
1. F(fi+fj) = F(fi) +F(j)
2. F (z*f) = z*F(f)
C) SEi f e P3 durch F(f) = g* mit g*(x) = 6x2-4x+3( mit F aus Aufgabenteil b bestimmen
Untersuchen Sie, ob die so definierte Menge V1 von Polynomen einen Unter-
vektorraum von P3 bildet, also V2 = {f e P3 | F(f) = g*).
merci |
Exponent
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Juli, 2002 - 17:38: |
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Vielleicht ist mit x3 das gemeint: x^3 |
Dominique
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Juli, 2002 - 20:09: |
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Hallo karlos,
eventuell kannst du x³ auf deiner Tastatur schreiben, indem du nach dem x die Tasten [Strg], [Alt] und [3] gleichzeitig drückst oder auch [Alt Gr] und [3] gleichzeitig.
x² dann entsprechend mit der Taste [2] anstelle von [3]
wenn die Polynome in a) allgemein von der Form ax³ + bx² + cx + d wären, könnte man sie durch Vektoren ersetzen, indem man an die jeweiligen Koeffizienten der Reihe nach einträgt:
(-1,0,2,0) für das erste
(1, -6, 3, -1) für das zweite
(-1, -18, 17, -3) für das dritte und
(-4, 6, 3, 1) für das vierte.
Dann könnte man prüfen, ob die Gleichung
r*(-1,0,2,0) + s*(1, -6, 3, -1) + t*(-1, -18, 17, -3) + u*(-4, 6, 3, 1) = 0
eine nichttriviale Lösung hat.
(nichttriviale Lösung heißt: dass Zahlen für r, s, t und u existieren, die nicht alle gleichzeitig 0 sind)
Diese Gleichung lässt sich in ein Gleichungssystem umformen:
-1r +1s -1t-4u = 0 |*2
0 r -6s +3t-1u = 0
2 r +3s+17t+3u = 0
0 r -1s -3t+1u = 0
-2r +2s -2t-8u = 0
0 r -6s +3t-1u = 0
2 r +3s+17t+3u = 0
0 r -1s -3t+1u = 0
erste Zeile zur dritten Zeile addieren:
-2r +2s -2t-8u = 0 |:2
0 r -6s +3t-1u = 0
0 r +5s+15t-5u = 0
0 r -1s -3t+1u = 0 |*(-6)
-1r +1s -1t-4u = 0
0 r -6s +3t-1u = 0
0 r +5s+15t-5u = 0
0 r +6s+18t-6u = 0
zweite Zeile zur vierten Zeile addieren:
-1r +1s -1t-4u = 0
0 r -6s +3t-1u = 0 |*5
0 r +5s+15t-5u = 0 |*6
0 r +0s+21t-7u = 0
-1r +1s -1t- 4u = 0
0 r-30s+15t- 5u = 0
0 r+30s+90t-30u = 0
0 r +0s+21t- 7u = 0
zweite Zeile zur dritten Zeile addieren:
-1r +1s -1t- 4u = 0
0 r-30s+15t- 5u = 0 |:5
0 r+0s+105t-35u = 0 |:5
0 r +0s+21t- 7u = 0
-1r +1s -1t- 4u = 0
0 r- 6s+ 3t- 1u = 0
0 r+ 0s+21t- 7u = 0
0 r +0s+21t- 7u = 0
die dritte und vierte Zeile sind identisch, also hat dieses Gleichungssystem mit 4 Variablen nicht nur die triviale Lösung, sondern unendlich viele Lösungen, die sich alle z.B. durch t ausdrücken lassen:
-1r +1s -1t- 4u = 0
0 r- 6s+ 3t- 1u = 0
0 r+ 0s+21t- 7u = 0 |-21t
-r +s -t- 4u = 0
-6s+ 3t- u = 0
-7u = -21t |/(-7) => u = 3t
setze u=3t in die ersten beiden ein:
-r +s -t- 4*3t = 0 |+13t
-6s+ 3t- 3t = 0
-r +s = 13t |-s
-6s = 0 |/(-6)
-r = 13t - s
s = 0, setze s=0 in die erste Gleichung ein:
-r = 13t -0 |/(-1)
r = -13t
also gibt es die Lösung
r = -13t
s = 0
t € IR
u = 3t
Diese Lösung bedeutet in diesem Fall:
r*f1(x) + s*f2(x) + t*f3(x) + u*f4(x) = 0, also:
-13t*f1(x) + 0*f2(x) + t*f3(x) + 3t*f4(x) = 0
oder vereinfacht:
-13*f1(x) + f3(x) + 3*f4(x) = 0 bzw.
f3(x) + 3*f4(x) = 13*f1(x)
also: addiert man das Dreifache des Polynoms f4(x) zu f3(x), erhält man das 13-fache des Polynoms f1(x), wenn die Polynome folgendes Aussehen haben:
f1(x) = -x³ + 2x
f3(x) = -x³ -18x²+ 17x- 3
f4(x) = -4x³ + 6x² +3x +1
Probe:
-x³ -18x²+ 17x- 3 + 3*(-4x³ + 6x² +3x +1) = -13x³ +0x² +26x + 0 = 13*(-x³ + 2x) = 13*f1(x)
stimmt also.
Ergebnis der Untersuchung, ob f1, f2, f3, f4 linear abhängig oder unabhängig sind:
f1, f2, f3, f4 sind linear abhängig voneinander: -13*f1(x) + 0*f2(x) + f3(x) + 3*f4(x) = 0
Die Dimension von V1 weiß ich leider auch nicht.
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