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Beitrag |
    
JeffP
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Februar, 2001 - 14:10: | 
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Hallo miteinander,
wer kann mir bei folgendem Beweis helfen:
Es seien a x b, a x c, a x d als Vektorprodukte erklärt (Kreuzprodukt). Dabei sind a,b,c,d beliebige Vektoren des Raumes. Zeigen Sie, das a x b, a x c, a x d komplanar sind!
Vielen, vielen Dank im Voraus! |
Köpper (Koepper)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Februar, 2001 - 00:41: |
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hi jeff!!
am einfachsten führt man den beweis, indem man die annahme, die 3 kreuzprodukte seien NICHT komplanar auf einen widerspruch führt (indirekter beweis):
wären diese 3 kr-produkte nämlich nicht komplanar, wären sie linear unabhängig und würden den gesamten R3 aufspannen. dann müßte sich JEDER vektor des R3 aus ihnen linear kombinieren lassen, insbesondere also auch der vektor a.
man stellt die linearkombination auf:
p(a x b) + q(a x c) + r(a x d) = a
a ausklammern:
a x (pb+qc+rd) = a
daraus folgt: der vektor a ist orthogonal zu sich selbst, also aa=0 und damit a=0 (vektor)
wenn aber a der nullvektor ist, dann sind alle drei kreuzprodukte auch der nullvektor und damit lin.abh. (widerspruch) q.e.d. |
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