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Joannam
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Februar, 2001 - 12:30: | 
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Also, die Aufgabe lautet:
Geg.:f(x)=(1+2x)mal e hoch-0,5x (Schaubild K) und
g(x)=e hoch -0,5x (Schaubild sei C)
Zeige:K und C haben nur einen gem. Punkt S. Unter welchem Winkel schneiden sich K und C? Die Tangenten von K und C in S schließen mit der x- Achse ein Dreieck ein. Rotiert dieses Dreieck um die x- Achse, entsteht ein Rotationskörper. Berechne das Volumen!
Kann mir das bitte einer erklären? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Februar, 2001 - 13:30: |
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Hi Joannam ,
Bei der Gleichsetzung der y-Werte heben sich die e-Potenzen weg ;
Es bleibt die Gleichung 1+2 x = 1 , also x= 0 übrig
Der Schnittpunkt S hat demnach die Koordinaten xS = 0 , yS = 1.
Wir berechnen die Steigungen m1 und m2 der Tangenten
t1 und t2 der Kurven K und C im Punkt S:
Ableitung f'(x) = 2* e^(-0.5 x) - 0.5 * (1+2x) * e^(-0.5 x),
m1 = f '(0) = 2 - 0.5 = 3/2
g ' ( x ) = - 0.5 e ^ ( - 0 .5 x)
m2 = g ' (0) = - ½
Schnittwinkel phi mit einer bekannten Formel:
tan phi = (m1- m2) / (1 + m1* m2 ) = 2 / (1- ¾) = 8 ,
daraus phi ~ 82.87°
Gleichungen der Tangenten:
t1 : y - 1 = m1*x , also y = 3/2* x +1 ; t1 schneidet die x-Achse im
Punkt A(2/0)
2: y - 1 = - ½ * x , also y = - ½ * x + 1 ; t2 schneidet die x-Achse im
Punkt B(-2/3 ; 0)
Der Rotationskörper ist ein Doppelkegel: gemeinsamer Radius r = yS = 1
Höhen h1 =: OA= 2 . h2 =OB = 2/3.
Gesuchtes Volumen V = 1/3 Pi * r^2 ( h1 + h2 ) = 8/9 * Pi
Volumeneinheiten.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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