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Beitrag |
    
Alexander Schröder (Alex001)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Februar, 2001 - 21:18: | 
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Gegeben sei die Funktion f durch
y=f(x) = (x^3-2x^2+4x)/(x-1) (x Element Df)
a) Geben sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f an, und führen sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion (Nullstellen,Polstellen,Extrempunkte,Art der Extrema,Verhalten im unendlichen und den Polstellen)durch!
b) Berechnen sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen der Funktion f mit der Geraden g, die durch y=g(x) =4x gegeben ist.
Diese Graphen von f und g begrenzen eine Fläche vollständig. Berechnen sie den Inhalt dieser Fläche.
c) Gegeben sind die Funtionen fk und gk durch
y=fk(x)=(x^3-2x^2+kx)/(x-1)
(x ungleich 0;x,k Element R) und
y=gk(x)=kx (x;k Element R).
Weisen sie nach, dass für jedes k (k ungleich 0;1;2)die Graphen von fk und gk genau drei Schnittpunkte besitzen. Geben sie die Koordinaten dieser Schnittpunkte in Abhängigkeit von k an.
d) Zeigen sie, dass für 0<k<1 jede der Funktionen fk genau drei reele Nullstellen besitzt.
Wer kann mir diese Aufgabe lösen?
Weiss nicht, wie sie geht!!!!!!
Schonmal danke im vorraus!!!! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 13:24: |
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Hi Alex,
zu a)
- Definitionsbereich: alle reellen Zahlen, ausser x = 1.
- Nullstellen: einzige reelle Nullstelle x = 0 .
Die durch Abspalten dieser Nullstelle im Zähler
übrig bleibende quadratische Funktion
x ^ 2 - 2 x + 4 hat keine reellen Nullstellen,
da die Diskriminante 4 - 16 = - 12 negativ ist.
- Polstelle ; Nullstelle x = 1 des Nenners
- Extremalstelle : als Nullstelle der Ableitung f '(x) ,
welche wir mit der Quotientenregel ermitteln:
y ' = f ' (x) = (2 x ^3 - 5 x ^ 2 + 4x - 4) / ( x - 1) ^ 2
Einzige Nullstelle des Zählers und damit einzige
Nullstelle von y ': bei x = 2.
Durch Abspalten des Linearfaktors (x-2) erhalten wir
die Darstellung:
y ' ( x ) = [ (x - 2 ) * ( 2 * x ^ 2 - x + 2 )] / (x-1) ^ 2
Die Diskriminante der quadratischen Funktion
2 * x ^ 2 - x - 2 ist negativ , nämlich 1 - 16 = - 15;
somit gibt es keine weiteren Nullstellen von y '.
Wir stellen weiter fest, dass bei x = 2 die Ableitung y' das
Vorzeichen wechselt und zwar von minus zu plus,
somit hat die Funktion bei x = 2 ein Minimum.
- Wir dividieren aus:
(x ^ 3 - 2 x ^ 2 + 4 x ) : ( x - 1 ) = x ^ 2 - x + 3 + 3 / ( x - 1 )
Wir erkennen : für grosse Werte des Absolutwertes von x
stimmt die gegebene Kurve (asymptotisch) mit der nach oben
offenen Parabel y = x ^ 2 - x + 3 überein.
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 13:48: |
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HiAlex,
Wir lösen nun die Teilaufgabe b)
Die Gleichsetzung der y-Werte beider
Funktionsgleichungen führt auf die Gleichung für x:
4 * x * (x-1) = x^3 - 2 * x^2 + 4*x , vereinfacht:
x^3 - 6 * x ^2 + 8 * x = 0 oder
x * ( x^2 - 6 * x +8 ) = 0 mit den Lösungen x1 = 0, x2 = 2 , x3 = 4
Uns interessieren nur die beiden letzteren x-Werte, welche
als Grenzen des Integrals einzusetzen sind
Die gesuchte Fläche ergibt sich nämlich aus dem Integral
A = int [ ( g(x) -f(x) ) * dx ], untere Grenze 2, obere Grenze 4;
also:
A = int [ {(- x ^3 + 6* x ^2 - 8* x ) / ( x - 1 )} * dx ]
Im Integrand dividieren wir aus und erhalten:
A = int [(- x^2 + 5* x - 3 - 3 / (x-1)) * dx ] in den genannten Grenzen
Eine Stammfunktion ist :
F(x) = - x ^ 3 / 3 + 5 / 2 * x^2 - 3*x - 3 * ln (x-1)
Setzt man die Grenzen ein, so erhält man:
A = 16 / 3 - 3 * ln 3 ~ 2.0375.
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 14:23: |
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Hi Alex,
Die in der Teilaufgabe b) genannten Schnittpunkte
haben die Koordinaten S1(0/0), S1(2/8), S3(4/16).
Teilaufgabe c)
Die x-Werte der Schnittpunkte ergeben sich aus der
Gleichung:
( x^3 - 2 x ^2 + k x ) / ( x - 1 ) = k x
oder
x * [ x^2 - ( 2 + k ) * x + 2 k ] = 0
Aus der letzen Gleichung berechnet man leicht die Lösungen,
wenn man die Diskriminante D der quadratischen Funktion
in der eckigen Klammer D = (2+k)^2 - 8*k als Quadrat
D = (k - 2) ^ 2 schreibt !
x I = 0 ,
x II = ½ * [2 + k + ( k - 2 ) ] = k
x III = ½ * [2 + k - ( k - 2 ) ] = 2
Die zugehörigen y -Werte sind:
yI = 0 , y II = k^2 , y III = 2*k.
Es gibt in allen genannten Fällen genau drei Schnittpunkte.
Teilaufgabe d)
Die massgebliche Gleichung lautet:
x * [x^2 - 2 * x + k ) = 0
x = 0 ist stets eine Lösung.
Die Diskriminante D der quadratischen Funktion in der
eckigen Klammer ist D = 4 - 4 * k = 4 *( 1 - k)
Da k zwischen null und eins variiert, ist D stets positiv,
und es gibt zwei weitere reelle Nullstellen.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Alexander Schröder (Alex001)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 15:11: |
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Vielen DANK für die schnelle Antwort!!!!!! :-) |
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