| Autor |
Beitrag |
    
Nadice (Nadice)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Februar, 2001 - 20:11: | 
|
Hallo, wer kann mir bitte heute noch helfen???????
Ich bräuchte eine ausführliche Erklärung zu folgender Aufgabe:
Die Funktionen f und g erfüllen folgende Bedingungen:
f'(x)-1/2f(x)=0 ; f(0)=1 bzw. g'(x)+1/4g(x)=0 ; g(0)=-1/2 .
a.) Bestimme f(X) und g(x). Zeichne Schaubilder von f und g für (Betrag von) x < 4 (kleiner/gleich 4), im gleichen Koordinatensystem.
b.) Die Schaubilder von f und g begrenzen mit der y-Achse eine Fläche. Berechne ihren Inhalt.
Ist wirklich wichtig!!! Habe keine Ahnung was ich machen soll! HILFE! |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Februar, 2001 - 21:37: |
|
Hallo Nadice,
na dann wollen wir es mal angehen:
a) f(x) und g(x) lassen sich jeweils mit derselben Methode bestimmen. Wir haben hier eine Differentialgleichung erster Ordnung, die wir ganz einfach auflösen:
f'(x) = 1/2 f(x) |: f(x)
f'(x)/f(x) = 1/2 | Integral
ln f(x) + C1 = 1/2x + C2
ln f(x) = 1/2 x + C' (C zusammengefasst) und
-->f(x) = C*e0,5*x (delogarithmiert)
Genauso verfahre für g(x).
In deiner ersten Nachricht hattest du g'(0)=-1/2 geschríeben, hier nun g(0). Weil aber für diesen Fall die Schaubilder mit der y-Achse keine Fläche bilden, gehe ich von g'(0)=-1/2 aus!
Zunächst erhalten wir mit obigen Verfahren
g(x) = C*e-0,25*x
zu Bestimmen sind nun noch die beiden C´s in f(x) und g(x).
Es gilt für f(x): f(0)=1, also
1 = C*e0,5*0 = C = 1 und schließlich
f(x) =e0,5*x
Analoges für g(x): Wenn wir die "rohe" Version von g(x) ableiten erhalten wir
g'(x) = -0,25*C*e-0,25*x
g'(0) = -0,25*C = -1/2 => C = 2
Also endlich dann g(x) = 2*e-0,25*x
Zum zeichnen der Graphen verwende bitte einen geeigneten Plotter, zum Beispiel den hier bei zahlreich.de. (auf der Hauptseite!)
Wenn die beiden Schaubilder mit der y-Achse eine Fläche begrenzen, dann müssen wir noch einen Schnittpunkt der Graphen finden, dieser liegt bei xs = 4/3* ln 2. Wir finden ihn durch Gleichsetzen und logarithmieren:
2*e-0,25*x = e1/2*x
2 = e0,75*x | ln
xs = 4/3 * ln 2.
Damit gerüstet, und mit der Tatsache, das lt. Zeichnung g(x)>f(x) im betreffenden Intervall ist können wir nun die Fläche mithilfe eines Integrals bestimmen. Sei A die gesuchte Fläche, dann gilt:
A = int g(x)-f(x) dx (in den Grenzen von 0 bis xs). Die Stammfunktion ist
A = [-8e-0,25*x - 2e1/2*x]
Die Grenzen eingesetzt ergeben dann A = 0,292942 FE.
So, das wars auch schon. Du kannst dich jetzt wieder abschnallen und den Sitz leicht zurücklehnen. Ich hoffe, der kurze Flug hat Dir gefallen, und würde mich über eine kurze Nachricht sehr freuen, bis dahin
 Oliver
P.S.: Die Lösungen für die anderen Aufgaben:
c) Minimaler Flächeninhalt A = 4 für u = 0
d) Aufstellen der Gleichung:
Nt = N0 * e0,17185*t
Mit Ni = Anzahl der Bakterien in der Stunde t
und N0 Anfangsbestand zur Zeit t = 0 (1000)
Doppelte Anzahl: Nach 4,033 Stunden
Nach 10 Stunden sind 5576,17 Bakterien vorhanden, aufgrund neuer Umweltbedinung (Desinfektion) ergibt sich eine neue Wachstums/Zerfallskonstante, also insgesamt die neue Wachstumsfunktion
N*t = 5576,17 * e-0,4700036*t
Nach 3,65 Stunden sind wieder 1000 Bakterien vorhanden und nach ca. 10 Stunden ist die Kolonie ausgestorben.
Die Aufgabe ist gut, wo hast du sie her? |
|
