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Nadice (Nadice)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Februar, 2001 - 20:32: | 
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Wer kann mir helfen??? Ich brauche unbedingt jemanden der nicht nur die Rechnung behersscht, sondern mir das Ganze auch erklären kann. WICHTIG!!!
Also:
Die Funktionen f und g erfüllen die Bedingungen
f'(x)-1/2f(x)=0 ; f(0)=1 bzw. g'(x)+1/4g(x)=0 ; g'(0)=-1/2 .
a.) Bestimme f(x) und g(x). Zeichne Schaubilder von f und g für \X\ <4 [=für x (mit Betragszeichen) kleiner/gleich 4] im gleichen Koordinatensystem.
b.) Die Schaubilder von f und g begrenzen mit der y-Achse eine Fläche. Berechne ihren Inhalt.
c.) Der Punkt P(u/v) mit u >0 (u größer/gleich 0) liegt auf dem Schaubild von g. Die Tangente in P an das Schaubild von g begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Bestimme P so, dass der Inhalt dieses Dreiecks extremal wird. Um was für ein Extremum handelt es sich?
d.) In einer Nährlösung vermehren sich Bakterien stündlich um 25%, im gleichen Zeitraum sterben 5%. Zu Beginn der Beobachtung waren rund 1000 Bakterien vorhanden. Ermittle das Wachstumsgesetz. In welcher Zeit verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien?
10 Std. nach Beginn der Beobachtung wird der Nährlösung ein Desinfektionsmittel zugegeben. Hierdurch erhöht sich die Sterberate auf 50%, während sich die Geburtenrate von 25% nicht ändert. Wie viele Std.nach Zugabe des Mittels enthält die Nährlösung wieder die ursprüngliche Anzahl an Bakterien? Wann(von Beginn der Beobachtung an) sind nur noch rund 50 Bakterien vorhanden, ist also die Population praktisch ausgestorben?
Liebe Mathekönner, erbarmt euch meiner und helft mir bitte so weit es geht!!! Ich muß es bis Mo können, sonst hab ich in der nächsten Arbeit (in 10Tagen) richtig böses Pech.
S.O.S. |
Michael H
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Februar, 2001 - 10:04: |
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a)
bei dieser Art von Differentialgleichungen ist
es am besten, f´(x) durch dy/dx und f(x) durch
y zu ersetzen
danach Trennung der Variablen: alles mit y nach links, alles mit x nach rechts
anschliessend integrieren, wobei wegen fehlender
Integrationsgrenzen eine Integrationskonstante
(meist C) berücksichtigt werden muss
durch die Anfangsbedingung (z.B. f(0)) lässt sich
diese dann berechnen
nun zur Aufgabe:
f´(x) - ½f(x) = 0 und f(0)=1
dy/dx = ½y
Trennung der Variablen:
dy/y = ½dx
umformen:
(1/y)dy = ½dx
beide Seiten integrieren:
ò(1/y)dy = ò½dx
Integrale berechnen:
ln|y| = ½x+C
nach y auflösen:
y = e½x+C
y wieder durch f(x) ersetzen:
f(x) = e½x+C
Ableitung (mit Kettenregel)
f´(x) = {½e½x+C
C mit f´(0)=1 berechnen:
f´(0)=1 ==> {½eC=1
C=ln(2)
f(x) = e½x+ln2
umgeformt
f(x) = e½xeln2
f(x) = 2e½x
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g´(x)+(1/4)g(x)=0 mit g´(0)=(-1/2)
g(x)=y
dy/dx + (1/4)y = 0
dy/dx = (-1/4)y
Trennung der Variablen:
dy/y = (-1/4)dx
integrieren:
òdy/y = ò(-1/4)dx
ò(1/y)dy =(-1/4)ò1dx
ln|y|=(-1/4)x+C
g(x)=e(-1/4)x+C
g(x)=eCe(-1/4)x
g´(x)=(-1/4)eCe(-1/4)x
g´(0)=(-1/4)eCe0 = (-1/4)eC
g´(0)=(-1/2) ==> (-1/4)eC = (-1/2)
eC=2 ==> C=ln(2)
g(x)=eln2e(-1/4)x
g(x)=2e(-1/4)x |
Nadice (Nadice)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Februar, 2001 - 20:16: |
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Hallo Michael, sorry aber kannst du mir das nochmal und etwas ausführlicher erklären? Ich kapier´s einfach nicht! Ich wäre wirklich froh, wenn ich nur den Anfangsteil der Aufgabe schon verstehen würde, aber es geht nicht. Ich seh zwar deine Rechnung, kann sie aber nicht nachvollziehen. Erbarmst du dich nochmal bitte und versuchst es mir zu erklären? |
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