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christian beyer (3punkte)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Februar, 2001 - 19:30: | 
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Hallo, ich hab da mal eine Frage zu Winkelhalbierenden z.B. halt zwischen zwei ebenen.
Und zwar wie kann man erkennen ,ob man die winkelhalbierende ebene für den spitzen winkel oder für den stumpfen winkel berechnet hat?
vielen dank |
Matthias M.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Februar, 2001 - 21:56: |
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Rechne doch einfach den Winkel aus ,den der Normalenvektor der Winkelhalbierenden Ebene mit dem Normalenvektor einer der beiden anderen Ebenen bildet. Du erhältst so den halben Winkel zwischen den beiden gegebenen Ebenen. Multiplizierst Du diesen Winkel mit zwei, dann erhältst Du natürlich den ganzen Winkel und siehst dann, ob er stumpf oder spitz ist.
Falls Du nicht weißt, wie man den winkel zwischen zwei Vektoren berechnet, dann melde Dich noch mal.
mfg Matthias M. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Februar, 2001 - 14:08: |
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Hi Christian,
Wenn Du die Winkelhalbierungsebenen W1 , W2 zweier Ebenen
E1 , E2 ermitteln willst, brauchst Du den Schnittwinkel
der Ebenen E1 und E2 nicht notwendigerweise zu berechnen.
Es geht wesentlich einfacher, wenn Du mit der Hesse-Normalform
der beiden Ebenen arbeitest.
Ich zeige dir das Verfahren an Hand eines numerischen Beispiels
Gegeben sind die Koordinatengleichungen ax + by + cz = d der Ebenen:
E1 : 6 x + 2 y + 3 z = 12
E2: - 2 x + 3 y - 6 z = 36
Indem wir beide Seiten einer solchen (auf null gebrachten) Gleichung
mit dem Divisor D = wurzel (a^2 + b^2 + c^2 ) dividieren,
erhalten wir die Normalformen
E1: ( 6x + 2y + 3z - 12) / 7 = 0
E2: (-2x + 3y - 6z - 36) / 7 = 0
Setzt man auf der linken Seite an Stelle von x , y , z die Koordinaten
eines bestimmten Punktes A ein, so stellt der Wert der linken Seite
gerade den Abstand a des Punktes von der Ebene dar.
Dieser Abstand wird positiv, wenn der Punkt in jenem Halbraum der betreffenden Ebene liegt, in welchen der Normalenvektor der Ebene
zeigt
Für die Ebene E1 lautet dieser Normalenvektor: n1 = {6;2;3},
für E2 : n2 = {-2; 3; - 6}.
Für einen Punkt P(x/y/z) der ersten Winkelhalbierungsebene W1 gilt:
sein Abstand a1 von E1 stimmt mit seinem Abstand a2 von E2
überein: a1 = a2 für alle P(x/y/z),daher gilt die Gleichung:
(6x + 2y + 3z -12) / 7 = (-2x +3y-6z -36 ) / 7, vereinfacht:
8x - y + 9z = -24 und das ist die Koordinatengleichung von W1.
Für einen Punkt P(x/y/z) der zweiten WinkelhalbierungsebeneW2
gilt die Bedingung:
a1 = - a2 , d.h. die genannten Abstände sind entgegengesetzt
gleich.
Daraus erhalten wir als Gleichung für W2:
(6x +2y +3z - 12) / 7 = - ( -2x + 3y -6z -36) / 7 , vereinfacht:
4x + 5y - 3z = 48 und das ist die Koordinatengleichung von W2.
Hinweis:
Die beiden Ebenen W1 und W2 stehen aufeinander senkrecht;
Das Skalarprodukt s ihrer Normalenvektoren {8;-1;9} und {4 ;5 :-3}
ist null:
s = 8*4 - 1*5 -9*3 = 0
Anmerkungen
(I).
Für einen Punkt A bezw. B auf W1 gilt:
die gleichen Abstände a1 und a2 der Punkte von E1 und E2
sind entweder beide positiv oder beide negativ
Beispiel:
A( -1 / 16 / 0 ) liegt auf W1 ; es gilt: Abstand a1 = 2, Abstand a2 = 2
B(-1/ 7 / - 1 ) liegt auf W1 ; es gilt: Abstand a1 = -1, Abstand a2 = -1
Für einen Punkt C bezw. D auf W2 kommt:
Die Abstände sind entgegengesetzt gleich; und zwar gilt:
Wenn a1 positiv ist, dann ist a2 negativ und umgekehrt.
(Beispiele dazu sind leicht zu finden).
(II).
Stumpfer oder spitzer Winkel Phi des Keils ?
In unserem Beispiel bilden die eingangs erwähnten
Normalenvektoren n1 und n2 einen stumpfen Winkel Psi,
da ihr Skalarprodukt -12 + 6 -18 = -24 negativ ist
Der Winkel phi desjenigen Keils, in den die
Normalenvektoren weisen, ist wegen der Beziehung
phi = 180° - psi spitz.
In einem solchen Teilraum befindet sich z.B. der oben
erwähnte Punkt A,
denn für ihn sind beide Abstände positiv.
Das sollte für den Moment ausreichen !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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