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Rudolf
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 21:41: | 
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Bestimmen die Gleichung der gemeinsamen Tangenten der Kurven für ln(x) und exp(x).
Für mich nicht zu schaffen. |
boris
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Februar, 2001 - 22:40: |
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Tipp: Es existieren ein x0 und ein x1 sodaß ln'(x0)=exp'(x1) <=>
(I) 1/x0 = exp(x1)
Offenbar liegen dann [x0|1/x0] und [x1|exp(x1)] auf der Geraden=Tangente.
Aus dieser Gleichung und (I) kann man dann x0 und x1 berechnen und natürlich auch di Tangentengleichung.
boris |
Rudolf
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 09:30: |
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Hallo boris,
Wieso liegt [x0|1/x0] auf der Tangente ? |
Rudolf
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 18:23: |
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Kann niemand helfen ? |
Rudolf
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Februar, 2001 - 16:36: |
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Hilfe, Es muß doch jemanden geben der das lösen kann! |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Februar, 2001 - 17:18: |
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Ich glaube, nein, ich weiß, dass das wohl ein Fehler ist. Das hat sich Boris wohl vertan und statt der Funktionsgleichung die Ableitung benutzt. Richtig wäre natürlich [x0/ln(x0]. |
Rudolf
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Februar, 2001 - 18:12: |
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Hallo Martin,
Danke für Deine Antwort aber soweit war ich auch schon.
Wie lautet aber die Gleichung der Tangenten? |
bill gates
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Februar, 2001 - 03:14: |
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ich komme für x1 und x2 auf zwei gln. für 2 unbekannte:
1)(expx1-lnx2)/(x1-x2)=expx1
2)(expx1-lnx2)/(x1-x2)=1/x2
aus dem steigungsdreieck (y1-y2)/(x1-x2).
wenn man dann x1 und x2 kennt, lautet die gl. der gem.tang.:y=expx1+(x-x1)*expx1
oder aber y=lnx2+(x-x2)/x2 |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Februar, 2001 - 12:04: |
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Hi Rudolf,
Als Dein Namensvetter drängt es mich, endlich Deine
Aufgabe einer Lösung näher zu führen.
Wir legen im Punkt P1 (x1 /y1) der Exponentialkurve
y = e ^ x die Tangente t1 und fordern, dass sie auch
die Logarithmuskurve y = ln x im Punkt P2 (x2 /y2) berührt.
Die Steigung der Tangente t1 ist m = e ^ x1 einerseits und
m = 1 / x2 andrerseits , also gilt:
x 2 * e ^ x1 = 1....................................................................(1)
Gleichung von t1 als Tangente an y = e ^ x:
y - e ^ x1 = e ^ x1 * ( x - x1 ) ;
Gleichung von t1 als Tangente an y = ln x:
y - ln x2 = 1 / x2 * ( x - x2 ) oder:
y - ln x2 = 1/x2 * x - 1.........................................................(2)
da t1 durch P1 geht, folgt aus (2) durch Einsetzen
der Koordinaten von P1 (x1 / e^(x1))::
e ^ (x1) - ln x2 = 1/(x2) * x1 - 1 oder mit (1):
1 / (x2) - ln x2 = 1/(x2) * x1 - 1; wir schaffen die Brüche weg
und erhalten eine Gleichung für x2 allein, indem wir nochmals (1)
verwenden: aus e ^ (x1) = 1/x2 folgt :x1 = ln (1/x2) = - ln x2 , also:
1 - x2 * ln x2 = x1 - x2 = - ln x2 - x2;
nun substituieren wir ln x2 = u;
damit entsteht die Gleichung:
u * e ^ u - e ^ u - u - 1 = 0.....................................................(3)
Diese Gleichung lässt sich nur näherungsweise lösen
Mit Maple z.B. erhält man als Lösung:
u ~ 1. 5434, damit e ^ u ~ 4.680 , 1 / e ^ u ~ 0.214
Die Näherungswerte der Koordinaten der Berührungspunkte sind:
x1 = - u ~ - 1.54 , y1 = e ^ (-u) ~ 0.214;
x2 = e ^ (-u) ~ 0.2 14 , y2 = - u ~ - 1.54.
Gleichung der Tangente t1:
y = e^(-u) * x + e ^ (-u) + u* e ^ (-u)
Die Aufgabe hat zwei Lösungen !!
Wir erhalten die zweite gemeinsame Tangente t2 und die
Berührungspunkte Q1 auf y = ln x und Q2 auf y = e^x
Eine Achsenspiegelung an der Geraden y = x .
(vertausche x mit y und y mit x !)
Aus P 1 entsteht Q1 mit x = e^(-u) , y = - u;
Aus P2 entsteht Q2 mit x = u , y = e ^ u
Die Gleichung der zweiten Tangente t2 lautet:
y = e ^ u * x + e ^ u - u * e ^ u
Damit wären wir am Ziel !
Mit freundlichen Grüssen
Hans Rudolf Moser,megamath.
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