| Autor |
Beitrag |
    
Flo
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 18:57: | 
|
Hey Leute,
kann mir jemand von Euch einen Tip bei folgender Aufgabe geben?
Ein aufrecht stehender, 5 dm hoher zylinderförmiger Behälter mit dem lichten Durchmesser d=2dm ist mit einem Material gefüllt, dessen Dichte nach oben hin gemäß der Dichtefunktion p mit p(h)=6,0-0,2h^2 (h in dm; p in kg/dm^3)abnimmt. Welche Masse hat die Füllung?
Für jede Hilfe wäre ich äußerst dankbar.
Flo |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 20:10: |
|
Hi Flo,
ich bin mir sicher, die Aufgabe hast du aus dem LAMBACHER-SCHWEIZER ANALYSIS LK, stimmts?
Das ganze geht recht schnell, wir brauchen vorher nur eine kleine Kombinantion aus Physik und Mathematik:
(1) Die Dichtefunktion ist streng monoton fallend, besitzt aber als Funktion "unendlich" viele Punkte (eigentlich selbstredend), aber genau das brauchen wir für unsere Aufgabe später.
(2) Wenn nach der Masse gefragt ist, dann müssen wir irgendwie einen Zusammenang zw. Dichte, Querschnitt bzw. Volumen finden. Folgende Überlegung hilft uns: Masse = Dichte * Volumen.
Aber wie sollen wir die Masse bei dem Behälter bestimmen, wenn eben die Dichte nicht konstant ist? Mit der Integralrechnung kommen wir hier weiter: Wir zerlegen das Volumen des Behälters in unendlich viele, beliebig dünne Zylinder mit dem Masse Mi. Jeder dieser Zylinder hat also eine Masse Mi, die sich aus Dichte (in Höhe h) * Grundfläche (konstant) * Höhe (h) errechnet.
Also konkret:
Die Grundfläche ist stets konstant, sie ist
Ac = p r2
Die Höhe wollen wir von vornherein schon als Differential ansehen, also
hi = dh (bzw. hi+1 - hi = dh)
Und eben die Dichte, die uns jetzt noch fehlt, ist als Funktion gegeben, und zwar in Abhängigkeit der Höhe h. Somit finden wir als Masse Mi für den i. Zylinder in der Höhe h
Mi = p r2 * p(h) * dh
Unsere finale Überlegung ist nun, die Summe aller Mi´s als Grenzwert mithilfe eines Integrals darzustellen (Vgl. das Zustandekommen der Fläche unter einem Graphen über Integrale!) Dabei geht
hi+1 - hi -> 0, i -> oo.
Es ergibt sich:
h
\int p r2 * (6,0-0,2h2) * dh = M
0
und bei r = 1 dm und h = 5 dm findest du schließlich M = 21,66p := 68 Kg
Ich hoffe sehr, das ich Dir weiterhelfen konnte. Bei bedarf melde dich doch nochmal hier!
Viele Grüße
 Oliver |
Flo
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 21:25: |
|
Hey Oliver,
Stimmt, die Aufgabe stammt aus dem Buch. Seid Ihr auch gerade bei den Aufgaben oder kennst Du das Buch schon so gut?
Auf jeden Fall: Vielen Dank für Deine ausführliche Hilfe!! Eine super Erklärung!! Jetzt erscheint mir das alles sehr logisch.
Eine Wissenslücke habe ich jedoch bei Differential.Ich müsste eigentlich wissen, was dahinter steckt, aber durch die Verwendung des Taschenrechners gerät das Hintergrundwissen schnell in Vergessenheit.Ich verstehe, dass von 0 bis h über der Funktion...(s.o.)in Abhängigkeit von h integriert wird. Aber was bedeutet und wozu benötigen wir vorher die Überlegung: Die Höhe sehen wir uns von vornherein schon als Differential an?
Wenn Du Lust hast, mir diese Frage noch zu beantworten,wäre ich Dir sehr dankbar. Ansonsten, Danke für Deine bisherige Hilfe.
Flo |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 22:13: |
|
Hallo Flo,
hab ich gerne gemacht. Wir haben das Buch nicht im Unterricht, ich habe es selbst und mir schon viele Dinge damit beigebracht, allerdings muss ich sagen dass ich es eher durchschnittlich finde, denn einerseits ist die Mathematik darin auf hohem Niveau (gut!), aber die Autoren verfolgen das Prinzip "Beim Anwender reifen lassen!" einfach zu nüchtern. Hier und da ein paar Erläuterungen hätten gar nicht geschadet. Das übrigens frei erhältliche Lösungsbuch ist stellenweise so fehlerhaft, das man sich verwundert fragen muss wer dafür verantwortlich ist....naja....
Was das "Differential" betrifft, es ist gut das Du nachfragst, ich hatte bei der Formulierung auch erst meine Bedenken. Nun fange ich einmal damit an, dass ja jeder der i Zylinder eine Höhe hat und all diese Höhen sind untereinander gleich. Meinetwegen könnten wir 5 Zylinder der Höhe 1 dm einschreiben. Oder 10 Zylinder der Höhe 0,5 dm oder.....Je mehr Zylinder wir einschreiben, desto genauer nähern wir uns der tatsächlichen Masse M des Gefäßes. Sollte der Zylinder nämlich nur 1 dm hoch sein, würden wir nicht alle Dichtefelder berücksichtigen, eine schlechte Näherung wäre die Folge.
Nun, wenn wir also zur Erkenntnis gelangt sind, dass nur unendlich viele und demzufolge auch unendlich dünne Zylinder ( der Quotient h/n stellt dabei die Höhe des Zylinders dar.) den tatsächlichen Wert der Masse M bilden, heißt dass aber, das h/n für n->oo gegen Null geht.
In der Mathematik nennen wir eine beliebig kleine Größe (genauer: beliebig dicht bei Null) ein DIFFERENTIAL. Mit der Aussage "...von vornherein als Differential ansehen" habe ich mir einfach nur Schreibarbeit (siehe oben) gespart.
Würde mich freuen, wieder von Dir zu hören!
Viele Grüße
Oliver |
Flo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Februar, 2001 - 09:08: |
|
Hey Oliver,
Super, danke für Deine gute Erklärung. Wenn es mehr so geduldige "Erklärer" (um nicht Lehrer zu sagen) gäbe, wäre vieles einfacher.
Du hast übrigens Recht. Auch wir haben schon mehrere Fehler im Lösungsbuch feststellen müssen.
Und was das Mathebuch angeht: Kennst Du evtl. eine Alternative zu dem Buch, was auf ähnlichem Niveau ist, jedoch bessere Erklärungen beinhaltet?
Viele Grüße,
Flo |
Flo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Februar, 2001 - 19:08: |
|
Hey Oliver,
wo bist Du? Wenn Du einen Buchtip hast, meld Dich doch noch mal. Würd mich freuen. Aber bitte hier melden. Über dieser Nachricht hat sich nämlich noch jemand Flo genannt. Das bin ich jedoch nicht.
Viele Grüße
Flo |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Februar, 2001 - 21:42: |
|
Hallo Flo,
ich hoffe, diese Nachricht liest jetzt der richtige Flo, jedenfalls was die Alternative zu dem Mathebuch angeht, ich finde die beiden ANALYSIS I und II Bände aus dem Bayerischen Schulbuchverlag (Keil/Kratz/Müller/Wörle) genial. Klasse Abituraufgaben! Auch gut ist der Band "MATHEMATIK LK" von G. Postel aus dem Schroedel-Schöningh Verlag. Und wer sich für Mathematik nebenbei interessiert, dem sei noch "Was ist Mathematik?" von Richard Courant und Herbert Robbins empfohlen....da sammelt man Tricks, die man auch in der Schule gut anwenden kann.
Es grüßt Dich
Oliver |
Flo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Februar, 2001 - 22:14: |
|
O.K., Danke für die guten Tips. Kennst Dich ja gut aus.
Grüße,
Flo |
|
