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Leipnizsche Sektorformel

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Jesse
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Januar, 2001 - 16:50:   Beitrag drucken

Benötige dringend für meine Facharbeit INFOS zur Leipnizschen Sektorformel. Sowohl über die Herleitung als auch über das, was sie eigentlich darstellt...
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Januar, 2001 - 22:13:   Beitrag drucken

Hi Jesse,

Zur Sektorformel von Leibniz
Als Vorbereitung leiten wir eine Formel zur Berechnung
des Flächeninhalts F eines Dreiecks OAB
(diese Reihenfolge der Ecken) her.

Ein orthonormiertes (x.y) -Koordinatensytem mit Ursprung O
ist mit einem Polarkoordinatensystem (r, alpha )
auf die übliche Art verknüpft :
Die x-Achse ist die Polarachse, der Nullpunkt O der Pol.
O ist der Nullpunkt des Koordinatensystems
Daten:
O :Nullpunkt
A: rechtwinklige Koordinaten xA , yA
Polarkoordinaten : rA,alpha
B :rechtwinklige Koordinaten xB , yB
Polarkoordinaten.: rB , beta
Phi : orientierter Innenwinkel bei O im Dreieck OAB
Es gilt: phi = alpha - beta.

Nach einem bekannten Satz der Trigonometrie erhält man für
die doppelte Fläche des Dreiecks OAB:
2 * F = rA* rB * sin (phi) = rA * rB * sin(alpha -beta)
Anwendung des Subtraktionstheorems des Sinus führt auf:
2 * F = rA * rB* [sin(alpha) * cos(beta) - cos(alpha ) * sin(beta)]
= rA * cos(alpha)* rB * sin(beta) - rA * sin(alpha) * rB * cos (beta)=
= xA * yB - yA * xB .
Formal stellt das Resultat eine zweireihige Determinante dar;
in der ersten Zeile stehen die Koordinaten xA ,yA des ersten Punktes (A),
in der zweiten Zeile die Koordinaten des zweiten Punktes (B) ;
(Zählung ohne Punkt O)

Nun gehen wir zur Integralrechnung über.
Die Fläche A , die wir berechnen möchten, sei von einer
geschlossenen Kurve begrenzt.
P(x/y) , Q(x + delta x / y + delta y) seien zwei benachbarte
Punkte auf der Kurve.
Nach der Vorbereitung ist dann die Fläche delta A des
Dreiecks OPQ:
delta A = ½ * [x * ( y +delta y ) - y* ( x + delta x ) ]
= ½ * ( x * delta y - y * delta x ) .
Dabei wird die Fläche positiv, wenn das Dreieck OPQ
positiv, d.h. im Gegenuhrzeigersinn , orientiert ist;
andernfalls wird die Fläche negativ.
Durch eine Summation über C und Ausführung des
Grenzübergangs bekommt man als Fläche A:
A= ½ int [(xdy - y dx)]; dabei erstreckt sich das
Linienintegral, auch Umlaufintegral genannt,
über die geschlossene Kurve C.

Durch Parametrisierung der Kurve C
mit x = x(t) , y = y(t) erhält man die Form:
A = ½ * int [ (x y' - x' y)* dt] ; die Striche werden in der
Regel als Punkte geschrieben und bedeuten Ableitungen
nach dem Parameter t .

Beispiel:
Fläche A der Ellipse x = a cos t , y = b sin t im Bereich
0 < = t < = 2*Pi:
A = ½ * int [a * b * {cos^2t +sin^2t}* dt ] untere Grenze 0 ,
obere Grenze 2*Pi;
Resultat A = Pi * a * b. wie es sein muss !

Bericht zum Polarplanimeter folgt später.

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath .
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Januar, 2001 - 22:37:   Beitrag drucken

Hi Jesse,

Damit Du mit der altehrwürdigen Sektorformel
von Leibniz (1646-1716) besser vertraut werden kannst,
zeige ich Dir eine weitere Anwendung:

Berechnung der Fläche A eines Hyperbelsektors
Implizite Hyperbelgleichung:
b^2 * x^2 - a^2 * y ^2 = a^2 * b^2
Parameterdarstellung des Astes im I. und IV. Quadrant:
x = a cosh t , y = b sinh t
Ableitungen :
x' = a sinh t , y ' = b cosh t

Sektorfläche S von P1 mit t = t1 bis P2 mit t = t2 :
S = Sektorfläche O P1 P2
= ½ * ab* int [ {(cosh (t))^2 - (sinh (t))^2 } * dt]
untere Grenze t1 , ober Grenze t2
Resultat : S = ½ * ab* (t2 - t1)
Beachte: (cosh (t) )^2 - ( sinh (t) )^2 = 1.

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.

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