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Martin Kreißig (Martin1893)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Januar, 2001 - 11:26: | 
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Ich komme bei folgender Aufgabe seit einigen Stunden auf keinen grünen Zweig:
Es ist eine Gerade g durch die Punkte P(5/2/1) und Q(6/2/-1), sowie die Kugel mit der Gleichung
k: [X-(1/2/0)]² = 9, in Koordinaten Form:
(x1-1)² + (x2-2)² + (x3)² = 9 gegeben. Man soll nun die Berührpunkte der beiden Ebenen, welche durch g gehen und die Kugel berühren, bestimmen. Laut Lösungsbuch sollen diese B1(3/4/1) und B2(3/0/1) sein. Doch mir ist es bislang ein Rätsel, wie man darauf kommt.
Wäre echt nett, wenn mir jemand helfen könnte. DANKE |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Januar, 2001 - 20:14: |
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Hi Martin,
Eine allgemeine Tangentialebene T der gegebenen Kugel
hat die Gleichung
(x1 - 1) * (x -1) +(y1 - 2) * (y - 2) + z1 * z = 9 ,
wobei der Punkt B(x1 /y1 / z1) der Berührungspunkt
von T ist ; P(x/y/z) ist ein laufender Punkt von T.
Du hast bereits festgestellt, dass ich die Schreibweise
x,y,z für die drei Raumkoordinaten eines Punktes verwende.
Die angeschriebene Gleichung der Tangentialebene ist die
sogenannte Polarform der gegebenen Kugelgleichung und ist in Formelsammlungen zu finden.
Nun stellen wir drei Gleichungen für die Koordinaten x1 ,y1,z1
des Berührungspunktes B auf
1.
P(5/2/1) liegt auf T, somit entsteht durch Einsetzen
dieser Koordinaten:
4 (x1 - 1) + 0 + z1*1 = 9 oder: 4 x1 + z1 = 13.........................(1)
2.
Q(6/2/-1)liegt auf T, somit:
5 (x1 - 1) + 0 - z1*1 = 9 oder 5 x1 - z1 = 14..........................(2)
Aus (1) und (2) lassen sich schon x1 = 3 und z1 = 1 berechnen.
3.
B(x1/y1)z1) liegt auf der Kugel, also erfüllen die Koordinaten
x1= 3, y1 (noch unbekannt) ,z1= 1 die Kugelgleichung, somit gilt:
2^2 +(y1 -2)^2 + 1^2 = 9 oder
(y1 - 2)^2 = 4
1.Fall: y1- 2 = 2 , daraus y1 = 4 und B1(3 / 4 / 1 )
2.Fall: y1 -2 = - 2 , daraus y1 = 0 und B2(3 / 0 / 1 ) .
wie vorausgesagt !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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