| Autor |
Beitrag |
    
Benni
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Januar, 2001 - 00:04: | 
|
Hallo, ich schreibe in 10 Tagen schriftliches Abitur in Mathe (u.a. Analysis) und habe ein paar Fragen, es wäre toll, wenn Ihr mir weiterhelfen könntet. Es geht um Definitionslücken bei gebrochen-rationalen Funktionen.
(1) Wenn ich bei einer gebrochen-rationalen Funktion Nullstellen des Nenners und damit Definitionslücken der Funktion gefunden habe, mit welchen Rechenschritten kann ich dann überprüfen, ob es sich um eine *hebbare* Definitionslücken handelt oder nicht? Da geht es ja darum, irgendwie eine Funktion zu ermitteln, die bis auf die Definitionslücke identisch ist mit der aus der Aufgabe, aber wie kommt man dahin und was ist im weiteren Verlauf einer Funktionsuntersuchung mit der "neuen" Funktion zu beachten?
(2) Werden als Polstellen auch solche Definitionslücken x0 bezeichnet, bei denen gilt: x -> +- x0 ==> f(x) -> +- oo , aber nur von *einer* Richtung der Definitionslücke aus gesehen (von der anderen aus geht meinetwegen f(x) gegen 0).
(3) Wie kann ich überhaupt *ohne* Einsetzen von Werten, die der Definitionslücke immer näher kommen, feststellen, ob es sich bei einer ermittelten Definitionslücke um eine Polstelle handelt oder nicht, und wenn ja, ob mit Vorzeichenwechsel oder nicht? Muß eigentlich erst auf Hebbarkeit und anschließend auf Polstelle geprüft werden, oder wie ist die richtige Reihenfolge?
Vielen Dank schon mal für Eure Mühe!!! |
suse
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Januar, 2001 - 07:08: |
|
Hi Benni!!
Du kannst herausfinden, ob es sich bei einer Definitionslücke um eine Polstelle oder um eine hebbare Definitionslücke handelt, indem Du den Wert, der im Nenner nicht angenommen werden darf (ausgeschlossene Werte für x) in die Zählerfunktion (Funktionsteil über dem Bruchstrich einsetzt! Ist die Zählerfunktion Z(x)=0 , dann ist es eine hebbare Definitionlücke, ist Z(x) ungleich 0, handelt es sich um eine Polstelle!
Nun muß man noch herausfinden, ob es sich hierbei um eine Polstelle mit oder ohne Vorzeichenwechsel handelt. Das ist ganz einfach und muß auch nicht mit Testwerten gemacht werden!
Dabei gehst Du von beiden Seiten mit Hilfe der Grenzwertbetrachtung (lim) an die Polstelle (xp) ran:
xp+h und xp-h (für h-->0)
Beispiel mit Parameter a:
f(x)=x/a+a+a/(x-a) x e R{a}
(Ich setze schon mal voraus, dass a eine Polstelle ist!
zuerst x>a
lim f(x) {x->a)
= lim f(a+h) {h->0}
= lim (a+h)/a + a + a/(a+h-a) {h->0)
= lim 1 + h/a + a + a/h
->1 ->0 ->a ->+unendlich
= ->+unendlich (!!!!!)
jetzt x<a
lim f(x)
= lim f(a-h)
= lim (a-h)/a + a + a/(a-h+a)
= lim 1 - h/a + a - a/h
->1 ->0 ->a ->-unendlich
= ->-unendlich
Das bedeutet, daß xp=a eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel ist!!! |
|
