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ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Skalarprodukt » Beweise... « Zurück Vor »

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Christoph (Virtual)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Januar, 2001 - 20:03:   Beitrag drucken

hallo zusammen!
wäre auf ne kleine hilfe sehr erfreut (von mir aus auch größer :))

beweisen sie mithilfe des skalarproduktes:
a) in einem rechteck sind die diagonalen gleich lang.
b)ein parallelogramm mit gleich langen diagonalen ist ein rechteck
c)im gleichschenkligen dreieck sind die seitenhalbierende der grundseite und die grundseite selbst zueinander orthogonal

alles klar????
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Cosine (Cosine)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Januar, 2001 - 22:35:   Beitrag drucken

Hi Virtual (Christoph)
Das Skalarprodukt von zwei Vektoren mit Länge ungleich 0 ist genau dann gleich Null, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

a) Gegeben sei ein beliebiges Rechteck.
Der Vektor der ersten Seite sei a
Der Vektor der zweiten Seite sei b
Der Vektor auf der ersten Diagonale ist
d1=a+b
Der Vektor auf der zweiten Diagonale ist
d2=a-b

Die Länge der ersten Diagonale ergibt quadriert:
[d1]² = [a+b]² = [a]² + 2*a*b + [b]² = [a]² + 2*0 + [b]² = [a]² + [b

Hierbei wurde verwendet, dass a*b = 0 , weil es sich um ein Rechteck handelt, und deshalb die Seitenvektoren senkrecht aufeinander stehen.

Das selbe für die zweite Diagonale:
[d2]² = [a-b]² = [a]² -2* a*b + [b]² = [a]² - 2*0 + [b]² = [a]² + [b

Also ist [d1]² = [d2]².
=> |d1| = |d2|.
q.e.d.

b) Parallelogramm sei gegeben mit Vektoren a und b.
Wieder ist
d1=a+b
d2=a-b
Diesmal wird vorausgesetzt, dass
|d1| = |d2|
Quadrieren ergibt:
[d1]² = [d2
[a+b]² = [a-b
skalar Ausmultiplizieren:
[a]² + 2*a*b + [b]² = [a]² - 2*a*b + [b
=> 2*a*b = -2*a*b
=> 4*a*b = 0
=> a*b = 0
=> a und b stehen senkrecht aufeinander
=> Das Parallelogramm ist ein Rechteck.
q.e.d.


c) Gegeben: Ein beliebiges gleichschenkliges Dreieck.
Die Grundseite ist unten und die beiden Schenkel sind oben links und oben rechts.
Den erste "Schenkelvektor" von unten links nach oben nennen wir a1.
Der zweite "Schenkelvektor" a2 geht von oben nach unten rechts.
Demnach ist der Vektor entlang der Grundseite des Dreiecks von links nach rechts die Summe der beiden:
c = a1 + a2

Der Vektor auf der Seitenhalbierenden der Grundseite geht nun vom Punkt gegenüber der Grundseite zum Mittelpunkt der Grundseite.
s = -a1 +(1/2)*c
= -a1 +(1/2)*(a1 + a2)
= -a1 +(1/2)*a1 + (1/2)*a2
= (1/2)*a2 - (1/2)*a2
= (1/2)*(a2 - a1)

Das Skalarprodukt der Grundseite c und der Seitenhalbierenden s ist
c*s
= (a1 + a2)*(1/2)*(a2 - a1)
= (1/2)*(a2 + a1)*(a2 - a1)
= (1/2)*([a2]² - [a1]²)

Die Länge der beiden Schenkeln ist natürlich gleich:
|a2| = |a1|
=> [a2]² = [a1

Demnach ergibt sich für das Skalarprodukt:
= (1/2)*( 0 ) = 0
Also steht s senkrecht auf c
q.e.d.

Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen.
Ciao,
Cosine

P.S.: Stillschweigend habe ich hier vorausgesetzt, dass für das Skalarprodukt das Kommutativ- und (vor allem) Distributivgesetz gilt. Außerdem wurde die Tatsache verwendet, dass der Betrag eines Vektors quadriert gleich dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst ist.
|a|² = [a]² = a*a
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Christoph (Virtual)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Januar, 2001 - 06:03:   Beitrag drucken

Schönen guten Morgen!
Oh Leute vielen vielen Dank! Ihr (oder du!) hast habt mich gerettet.... :)))

Gruß, Christoph
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Cosine (Cosine)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Januar, 2001 - 19:33:   Beitrag drucken

Keine Ursache!
Aber Du musst nicht "Ihr" zu mir sagen. Ich bin nur eine Person. ;-)

Ciao
Cosine
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captainY
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. März, 2015 - 18:56:   Beitrag drucken

Hey ich hatte die selbe Aufgabe zu lösen.
Auch angeblich mithilfe des Skalarprodukts. Jedoch fällt mir eine Begründung der a) mit dem Satz des Pythagoras leichter.
Jetzt frage ich mich aber ob das Ganze auch so stimmt.
Zu a) wäre mein ansatz d1²= a²+b² nach Pythagoras
und d2² = a² + b²
=> d2²=d1²

Ich bitte um kurze Hilfe. Bzw kurze Rückmeldung, ob das stimmt oder nicht. Wenn nicht bitte mit Begründung

MfG und Danke
Captain

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