| Autor |
Beitrag |
    
Robert Ellenbeck (Schwobatz)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Januar, 2001 - 16:30: | 
|
HALLO?
Die Kurve K: f(x)=ln(x^2+4) und die Gerade y=ln(8) umschließen eine Fläche. Berechnen Sie den Rauminhalt der Fläche, der bei Rotatiopn um die y- Achse entsteht...
Bitte helft mir schnellstmöglich. Ich bräuchte es schon morgen...
ROBERT |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Januar, 2001 - 20:46: |
|
HiRobert ,
Zuerst ermitteln wir den Schnittpunkt der Kurve y = ln(x^2+4)
mit der Parallelen zur x-Achse mit der Gleichung y = ln 8
Durch Gleichsetzung der y-Werte kommt x = 2.
Der Schnittpunkt S ist somit der Punkt S( 2 / ln 8 ).
Jetzt lösen wir die Funktionsgleichung nach x auf; wir erhalten:
x ^ 2 + 4 = e ^ y oder x ^ 2 = e ^ y - 4,
Nach der bekannten Volumenformel für die Rotation
um die y-Achse ist das gesuchte Volumen V:
V =Pi * int [x^2 * dy] = Pi * int [(e ^ y - 4 ) * dy ],
untere Grenze y(0) = ln 4 , obere Grenze yS = ln 8
Eine Stammfunktion lautet : e ^ y - 4 y, somit gilt
V = Pi * { e ^ ln 8 - 4 * ln 8 - ( e ^ ln 4 - 4 * ln 4)} =
= Pi * ( 4 - 4 * ln 2) ~ 3.856.
Beachte: ln 8 = ln (2^3) = 3 * ln 2 u.s.w.
Als Vergleich berechnen wir das Volumen Vo eines Rotationskegels
mit dem Radius r = 2 und der Höhe h = ln 8 - ln 4 = ln 2:
Vo = 1/3 * Pi * 4 * ln 2 ~2.903.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
Robert Ellenbeck (Schwobatz)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Januar, 2001 - 05:02: |
|
Nochmals herzlichen Dank!!!!
ROBERT |
|
