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Peter
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Januar, 2001 - 14:11: | 
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Hallo,
folgende Frage quält mich:
Gegeben seien die Vektoren a,b,c mit
a= (-4,2,8) b=(0,0,1) und c=(-8,4,5)
Welche Dimension hat der von a,b,c aufgespannte Vektorraum?
Und da liegt das Problem: Weil det(a,b,c)=0 ist, kann das Vektortripel a,b,c doch kein Erzeugendensystem sein, das zugleich Basis von U ist. Dazu müsste es linear UNabhängig sein, das Gegenteil ist aber der Fall. Warum ist dann, so wie es das Lösungsbuch sagt, die Dimension hier dim U = 2.
Hat das was mit einem Untervektorraum zu tun? Außerdem: Müsste man nicht vorher untersuchen ob a,b,c ALLE Vektoren des R³ erzeugen?
Bitte helft mir weiter!
Gruß
Peter |
koepper
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Januar, 2001 - 15:14: |
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richtig ist: die 3 vektoren sind lin. abhängig, wie du schon erkannt hast. deshalb bilden sie zwar ein erzeugendensysten, jedoch keine basis. allerdings sind die vektoren a und b lin. unabhängig und spannen daher einen untervektorraum mit dim=2 auf (weil die basis 2 vektoren umfasst). das system a,b,c spannt den selben untervektorraum vom R3 auf wie (a,b)
hoffe das hilft dir, bei weiteren fragen kannst du mir mailen,
gruß |
Peter
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Januar, 2001 - 22:00: |
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Hallo koepper,
danke für die schnelle antwort.
Bleibt nur noch:
so wie ich deine Antwort lese heißt das, dass z.B. JEDES linear unabhängige 3-Tupel von Vektoren ein a) Erzeugendensystem und b) Basis von, in diesem Falle des R³ ist. Richtig?
Das wundert mich, denn ich würde eigentlich immer zuerst versuchen, aus a,b,c den R³ zu erzeugen, indem ich es nicht auf lineare Unabhängigkeit untersuche sondern den Ansatz
ka + wb + vc = (x1 x2 x3)T
wähle. Erst bei linearer Abhängigkeit würde ich das Erzeugendensystem verkleinern, bis es linear unabhängig ist.
Welche Vorgehensweise ist ratsam? Mache ich gedanklich was falsch?
Gruß
Peter |
Köpper (Koepper)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Februar, 2001 - 09:17: |
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3 beliebige linear unabhängige vektoren aus dem R3 sind eine basis (und damit natürlich auch erzeugendensystem) des R3. es gilt sogar allgemein: sei v ein vektorraum mit dim(v)=n. dann ist eine menge aus n linear unabhängigen vektoren aus v immer eine basis von v.
eine untersuchung, ob die 3 vektoren wirklich den ganzen R3 aufspannen ist also bei lin. unabhängigkeit nicht mehr erforderlich. nur bei lin.abhängigkeit muß das erzeugendensystem verkleinert werden, bis es lin. unabhängig ist. das verbleibende system spannt dann natürlich auch nicht mehr den ganzen R3 auf, sondern einen untervektorraum mit der dimension=anzahl der verbliebenen vektoren.
;-)
hoffe das hilft dir.
da ich nicht jeden tag das forum durchsuche solltest du mir bei weiteren fragen besser direkt emailen... sonst könnte die antwort länger dauern.
gruß
köpper |
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