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Katja
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Januar, 2001 - 14:54: | 
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Hilfe! Ich brauche dringend Unterstützung von Euch! Suche die Lösung von einem Integral.
ò0 3sqrt[1+(1/3*(x-3)*sqrt(x))^2]dx
Wäre echt super, wenn Ihr mir beim Ansatz helfen könntet!
Danke! |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Januar, 2001 - 17:10: |
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Hi Katja,
bist Du sicher, dass Du das Integral richtig abgeschrieben hast? Achte auf die Klammerung.
Die sqrt(x) unter der anderen Wurzel, wird ja wegquadriert und es bleibt unter der Wurzel ein kubisches Polynom stehen, das sogar irreduzibel ist.
So wie es dasteht, kann das Integral nicht in geschlossener Form berechnet werden, d.h. es treten höhere Transzendente Funktionen auf, die Ihr in der Schule nicht kennt. |
Katja
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Januar, 2001 - 15:29: |
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Hallöchen!
Möglich ist alles! Ich hab bei der Aufgabe noch mal 'n bisschen was zusammengefasst und dann kommt bei mir folgende Funktion raus:
sqrt[1+1/9*(x-3)^2*x)
Tja, und davon bräuchte ich jetzt das Integral von 0 bis 3, nur dass ich das beim besten Willen nicht hinkriege.
Danke!!!! |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Januar, 2001 - 17:46: |
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Du bist also sicher, daß Du das Integral richtig abgeschrieben hast! Um Dir das Problem, was bei Deinem Integral auftritt, verständlich zu machen, muß ich etwas ausholen.
Es gibt in der Mathematik Probleme, die nicht lösbar sind. Z.B. kann mit Zirkel und Lineal kein regelmäges 7-Eck konstruiert, kein Kreis quadriert, und kein Würfel verdoppelt werden.
Auch kann im Bereich der reellen Zahlen keine Quadratwurzel aus negativen Zahlen gezogen werden.
Beim Integrationsproblem ist es ähnlich: es gibt Klassen von Funktionen, die bezüglich Integration nicht abgeschlossen sind. Betrachten wir z.B. die Klasse der rationalen Funktionen. Darin können einige Funktionen integriert werden, wie 1/x2. Die meisten Funktionen lassen sich darin jedoch nicht integrieren. z.B. 1/x, denn int dx/x = log x, den Logarithmus kennen wir jedoch nicht, da wir uns ja in der Klasse der rationalen Funktionen befinden.
In der größeren Klasse der elementaren Funktionen (Polynome, trigonometrische Funkt., e-Funktion und ihre Umkehrfunktionen) lassen sich auch nicht alle Funktionen integrieren.
Z.B. int sin x / x dx = si x.
Das ist der Integralsinus (sinus integrali), eine neue, nichtelementare Funktion. Man muß eben die Menge der Funktionen erweitern, dieser Prozeß ist vergleichbar mit der Einführung der komplexen Zahlen.
Bei Deinem Integral ist es ähnlich, es kann nur mit Hilfe elliptischer Funktionen ausgerechnet werden, denn unter der Wurzel steht das irreduzible kubische Polynom
1 + x(x-3)2/9 = (x3 - 6x2 + 9x + 9)/9.
Das Ergebnis mit elliptischen Funktionen füllt eine ganze A4-Seite, es gebe es hier nicht an.
Bei kubischen Polynomen geht es nur mit elementaren Funktionen, wenn sich ein quadratischer Faktor abspalten läßt:
int sqrt(x3 - x2 - x + 1) dx = int sqrt[(x+1)(x-1)2] dx = int (x-1)sqrt(x+1)
= 1/15(6x2 - 8x - 14)sqrt(x+1)
(schöne Übung in partieller Integration!)
Ein Integral der Form int sqrt(ax2 + bx + c) dx läßt sich jedoch immer elementar integrieren.
Du kannst jedoch Dein Integral näherungsweise berechnen:
int[0,3] sqrt(1 + x(x-3)2/9) dx = 3.3477... |
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