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Konvergenz einer Folge!

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Folgen und Reihen » Konvergenz einer Folge! « Zurück Vor »

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Martin
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Veröffentlicht am Montag, den 11. Oktober, 1999 - 13:14:   Beitrag drucken

Wie beweise ich auf mathematischem Weg die Konvergenz der folgenden Folge?

an = (1+(1/n))^n

Und als Erweiterung:
an = [(4-(1+(1/n))^n]/(2+(1/2)^(1/n)
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Martin
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Veröffentlicht am Montag, den 11. Oktober, 1999 - 19:28:   Beitrag drucken

Noch eine Erweiterung:

an = (1+(a/n))^n wobei a > 0

Wie macht man das?
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Clemens
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Veröffentlicht am Montag, den 11. Oktober, 1999 - 21:20:   Beitrag drucken

Hi, Martin!
Die Konvergenz von (1 + 1/n)n nachzuweisen ist echt nicht leicht. Das hat in unserer Analysis-Vorlesung der Prof. selber gemacht.
Dazu mußt du zeigen, daß die Folge einerseits beschränkt andererseits streng monoton steigend ist, mit einem Satz folgt dann die Konvergenz.
Zu diesen zwei Sachen brauchst du den Binomischen Lehrsatz und mußt ein paar kleine Identitäten zeigen. Wenn du willst, schick ich's dir mal.

Zur Erweiterung:
0.51/n konvergiert gegen 1, habt ihr sicher gehabt, damit hat die Nennerfolge einen Grenzwert nämlich 3. Die Zählerfolge konvergiert auch, nämlich gegen 4-e, somit MUSS die Folge an konvergieren, natürlich gegen (4-e)/3.
/Clemens
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Clemens
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Veröffentlicht am Montag, den 11. Oktober, 1999 - 21:21:   Beitrag drucken

So. Und zur zweiten Erweiterung fällt mir echt nichts ein. Was sind das für Aufgaben? Wohl nicht Schule, schon eher Uni-Niveau ist das, und dann noch schwierig. Beschäftigt dich das persönlich?
/Clemens
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Anonym
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Veröffentlicht am Montag, den 11. Oktober, 1999 - 21:21:   Beitrag drucken

Bilde den Quotienten aus den Folgengliedern a(n+1) und a(n), also aus teile ein folgendes durch ein vorheriges. wenn dies Ergebnis kleiner als 1 ist, konvergiert die Folge.
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Anonym
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Veröffentlicht am Montag, den 11. Oktober, 1999 - 21:28:   Beitrag drucken

Also ich habe a(n+1) durch a(n) geteilt und erhalte nach sechs, sieben Zwischenschritten:

a(n+1)/a(n) = [ 1 - 1/(n+1)^2 ] * (1 + 1/n)

ist hieraus nicht ersichtlich, dass die Folge konvergiert ?
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Clemens
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Veröffentlicht am Montag, den 11. Oktober, 1999 - 21:29:   Beitrag drucken

Das was Anonym hier sagt, stimmt zwar prinzipiell, man muß noch die Beträge nehmen also |an+1/an| < 1 checken, aber das ist ja nur ein Test, ob die Betragsfolge monoton fallend ist.
Es gibt aber Folgen (nämlich steigende, so wie die obige e-Folge), die diesen Test nicht bestehen, aber trotzdem konvergieren!

Ein ganz einfaches Beispiel ist an = 2 - 1/n. Konvergiert offensichtlich gegen 2.
Aber den Test besteht sie nicht:
(2-1/(n+1))/(2-1/n) = (2n²+n)/(2n²+n-1) (bitte nachrechnen) und das ist > 1!!
Der Test ist also für den praktischen Gebrauch ziemlich unnütz, wenn er schon vor so harmlosen Foglen haltmacht.
Sorry
/Clemens
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Anonym
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Veröffentlicht am Montag, den 11. Oktober, 1999 - 21:44:   Beitrag drucken

Hallo Clemens, danke für den Hinweis. Hab ich übersehen, dass dies kein allgemein brauchbares Verfahren ist. Aber für diesen Fall funktioniert es doch, oder glaub ich das nur ?
ich meine, es ist hinreichend für die Konvergenz, bloß notwendig ist es nicht.

TAGALUBA
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Clemens
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Veröffentlicht am Montag, den 11. Oktober, 1999 - 22:01:   Beitrag drucken

Tagaluba, deine Rechnung kann ich nicht nachvollziehen. Erstens weiß ich, daß die e-Folge monoton wachsend ist, außerdem nur positive glieder hat, also an < an+1 das ist äquivalent zu an+1/an > 1, du zweigst genau das gegenteil. außerdem rechne ich's dir gerne vor:

(1+1/(n+1))n+1/(1+1/n)n = [(n+2)/(n+1)]n+1/[(n+1)/n]n = (n+2)/n+1) * [(n+2)*(n+1)/(n+1)/n]n = (n+2)n+1/[(n+1)nn] > 1.
/Clemens
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Anonym
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Veröffentlicht am Montag, den 11. Oktober, 1999 - 22:29:   Beitrag drucken

Also die Umformung hinter dem 2. "=" verstehe ich nicht.
ich versuch mal meine version zu erklären:

(1) a(n+1)/a(n) wird mit (1+1/n) erweitert.

(2) die Nenner werden zusammengefasst, so dass jetzt (mit Erweiterungen) dasteht:

[(n+1)/(n+1) + 1/(n+1)]^(n+1)
...= ______________________________*(1+1/n)
( n/n + 1/n ) ^ (n+1)

(3) Nun wird der Zähler des langen Bruches umgeformt zu:
(n+1+1)/(n+1) = (n+2)/(n+1)

und der Nenner zu (n+1)/n

so dass es so aussieht:

n+2
...= ________________
(n+1) * (n+1)/n
dies alles noch hoch (n+1) und mal (1+1/n)

...gleich gehts weiter...
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Anonym
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Veröffentlicht am Montag, den 11. Oktober, 1999 - 22:34:   Beitrag drucken

Jetzt wird der Nenner aus dem Nenner geholt, so dass das ganze ergibt:

...= [ (n2 + 2n) /(n+1)2)n+1 * (1+1/n)

oder nicht ?
(ich hab grad ne formatierung ausprobiert und schick jetzt erstmal ab, gleich gehts weiter)
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Anonym
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Veröffentlicht am Montag, den 11. Oktober, 1999 - 22:38:   Beitrag drucken

weiter gehts

...= [ (n2 + 2n + 1 - 1) /(n2 + 2n + 1)]n+1 * (1+1/n)

gleich gehts weiter, TAGALUBA
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Martin
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Veröffentlicht am Montag, den 11. Oktober, 1999 - 22:39:   Beitrag drucken

Da schein ich ja echt eine tolle Aufgabe gestellt zu haben.
Danke aber für die Lösung!
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Anonym
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Veröffentlicht am Montag, den 11. Oktober, 1999 - 22:42:   Beitrag drucken

und nun erhält man, wenn man die ersten drei Terme des Zählers kürzt:

..= [(1-1/(n2+2n+1)]n+1(1+1/n)

woran man schon sehen kann, dass dies konvergiert.
Wo steckt mein FEHLER ?

Vielen Dank im Voraus
TAGALUBA
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Anonym
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Veröffentlicht am Montag, den 11. Oktober, 1999 - 22:48:   Beitrag drucken

Ich bin mir ja leider auch fast sicher, einen Fehler gemacht zu haben, sehe aber nicht, wo.

also ich würde mich freuen, wenn du mir die Umformung vom 2. Gleichheitszeichen nochmal neu schreiben würdest,

Clemens,

TAGALUBA
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Clemens
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Veröffentlicht am Montag, den 11. Oktober, 1999 - 23:02:   Beitrag drucken

ok, Tagaluba. Fehlersuchen tu ich dir nicht, da hab ich keine lust, rechne selber grad meine übungen, aber nochmal erklären en detail ist in ordnung:

[1 + 1/(n+1)]n+1/[1 + 1/n]n =
auf gemeinsamen Nenner bringen
= [(n+2)/(n+1)]n+1/[(n+1)/n]n =
nun oben eine Potenz herausheben. Dann steht überall hoch n, also zusammenfassen:
= (n+2)/(n+1) * [(n+2)/(n+1)]n/[(n+1)/n]n = (n+2)/(n+1) * [(n+2)/(n+1)*(n+1)/n]n
das (n+1) kann natürlich gekürzt werden.
= (n+2)n+1/[(n+1)*nn]
naja, das sind im zähler n+1 binome und so auch im nenner, die im zähler sind aber jeweils alle größer. also ist dieser bruch > 1.
ok?
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Anonym
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Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Oktober, 1999 - 21:26:   Beitrag drucken

Was ich nicht ganz nachvollziehen kann, ist wiederum in Deiner sechstletzten Zeile der Term in der eckigen Klammer. Was geht bei Dir vor, das mal oder das geteilt ?
Aber egal. Ich habe meinen Fehler entdeckt. Und zwar war mein Rechenweg richtig, meine letzte Umformung von 23.42 Uhr stimmt, aber mein Argument, dass man daran sehen kann, dass es konvergiert, war natürlich falsch.

Du hättest also gar nicht den Fehler in den Zeilen suchen müssen, sondern nur anzweifeln, dass dies so offensichtlich sei.
Mit Bitte um Verzeihung

TALAGUBA
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Anonym
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Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Oktober, 1999 - 21:28:   Beitrag drucken

Für mich stand das (n+1) nämlich am Ende beide Male im Nenner, für Dich nicht ?
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Clemens
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Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Oktober, 1999 - 22:33:   Beitrag drucken

Hey, sorry, Talaguba, aber versuch doch mal mein Zeug selber ein wenig nachzuvollziehen, kann sein, daß bei (n+2)/(n+1)*(n+1)/n nicht klar ist, was das ist (nämlich ((n+2)/(n+1))*((n+1)/n), aber du wirst ja wohl erkennen können, was ich da so gemacht habe, da muß man halt selber mal einen zettel in die hand nehmen und ein wenig mitrechnen. daß ich nach so vielen messages im board echt keine lust mehr habe, meine rechnung NOCHMAL exakt mit jedem kleinsten zwischenschritt hinzuschreiben, wirst du ja hoffentlich verstehen.
Sei nicht böse wenn das etwas hitzig klingt, ich finde es eh total super, wenn du dich da reinhängst, immer wieder nachhakst, und du bist ja wohl wirklich interessiert dran, suchst nach deinen fehlern und so, aber ich studiere (zum glück) selber mathe und habe übungsaufgaben usw. und ja vielleicht hast du gestern meinen schelchten tag erwischt.
Egal, ich hoffe daß dir mein beweis jetzt klar wird.
/Clemens

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