| Autor |
Beitrag |
    
Thomas
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Januar, 2001 - 10:12: | 
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Gegeben sind die Funktionen f durch
f(x)= (3/2)x² - (1/t) x³
und g durch
g(x) = (1/2)x² (t element R)
a) Die Schaubilder von f und die x- Achse begrenzen eine parameterabhängige Fläche. Berechne den Inhalt dieser Fläche.
b) In welchem Verhältnis teilt das Schaubild von g diese Fläche? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Januar, 2001 - 10:08: |
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Hi Thomas,
Vorbereitend wollen wir das Schaubild der Funktion f(x)
etwas näher kennenlernen.
Die Nullstellen x1,x2,x3 von f(x) ergeben sich aus der Gleichung
x ^ 2 * [3/2 - x / t] = 0 zu x1 = x2 = 0
(Berührung der x-Achse im Nullpunkt O )
und x3 = 3 / 2 * t.
Die Nullstellen der Ableitung f ' (x) =3 * x -3 * x ^ 2 / t
sind x1 = 0 ( wie zu erwarten war) und xo = t.
Wir erkennen aus der zweiten Ableitung f '' (x) = 3 - 6x / t ,
dass wegen f ''( t ) = - 3 < 0 der zu xo = t gehörende Punkt
Po ( t / ½ t ^ 2 ) ein Hochpunkt ist.
Lösung der beiden Teilaufgaben
a) Die gesuchte Fläche sei A1; sie liegt ganz im 1.Quadrant;
der zugehörige x-Wert gehört zum Intervall [0, x3], mit
x3 = 3/2* t ; somit
A1 = int [ (3/2 * x^2 - x^3 / t ) * dx ],
untere Grenze 0, obere Grenze 3/2 * t.
A1 = [½ * x^3 - x^4 / (4 t ) ] in den genannten Grenzen.
A1 = 27/16 * t^3 - 81/64 * t^3 = 27 / 64 * t^3 als Schlussresultat.
b) die Parabel y = ½ 3 x^2 schneidet die Kurve y = f ( x )
gerade im vorhin ermittelten Hochpunkt Po(t / ½ i^2) ,
denn aus der Gleichung f(x) = g(x) folgt sofort ausser
x = 0 noch x = t
Die beiden Kurven zu y= f(x) und g (x) schliessen die gesuchte
Fläche A2 ein. Wir erhalten A2 durch Integration in den Grenzen
x = 0 bis x = t ; als Integrand dient die Differenz d(x) der
Funktionen f(x) und g(x) : d(x) = f(x) - g(x)
A2 =int [(3/2 x^2 - x^3 / t - ½ x^2)*dx] in den genannten Grenzen.
A2 = [ ½ x^3 - x^4 / (4t) - x^3/6] , mit denselben Grenzen
A2 = 1/12 * t^3
Flächenverhältnis A2 : A1 = 16 / 81 .
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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