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Beitrag |
    
Martin
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Oktober, 1999 - 03:14: | 
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Hi Leute,
hier ist wieder Martin. Wenn Ihr das lösen könntet, gebe erwähne ich euch in meinem Testament!
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Feststellung mit dem Wurzelkriterium, ob die folgenden Reihen konvergent sind?
Soo i=1 [(k+1)/k]*k^2
Soo i=1 k/2^k
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Und bei diesen Reihen das gleiche mit dem Quotientenkriterium:
Soo i=1 k!/k^k
Ich erhalte als Ergebnis beim Quotientenkriterium:
|k^k/(k+1)^k|
Wenn ich jetzt k^k = (k+1)^k setzte, erhalte ich
1 = 0, was natürlich falsch ist.
Heißt das, es gibt kein n, ab dem alle k > n kleiner als q < 1 sind und damit ist diese Reihe divergent? (also es gibt kein q < 1)
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Soo i=1 k!/2^k
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Ciao und Danke im Voraus! |
Clemens
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Oktober, 1999 - 12:18: |
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erstmal Soo k=1[(k+1)/k]*k^2.
schau dir die angabe nochmal an, das ding drinnen kann man problemlos kürzen, es ist KEINE Nullfolge, und kann somit keine konvergente Reihe produzieren!!
dann Soo k=1k/2k.
da geht das W-Kriterium sehr schön:
du erhälst k-teWurzel(k) / 2.
das konvergiert gegen 1/2 < 1 somit Konvergenz.
Beim der k!/kk - Reihe hast du richtig gerechnet, nur deine Argumentation mit der Abschätzung ist nicht ganz richtig. Ich habs schon mal ins Board geschrieben (siehe den Link mit der harmonischen Reihe, auch eine Frage von dir): Es ist ein Unterschied ob etwas < 1 ist oder < q < 1!!!
Vielmehr solltes du den Term kk/(k+1)k nochmal genau untersuchen:
kk/(k+1)k = (k/(k+1))k = 1/[(k+1)/k]k = 1/(1+1/k)k -> 1/e
dazu mußt du halt wissen, daß (1+1/k)k gegen e geht.
1/e ist aber sicher < 1 also konvergiert die obige Reihe.
Soo k=1 k!/2k mit dem Q-Krit ist doch leicht, müßtest du selber schaffen raus kommt (k+1)/2 welches alleine schon gegen +oo divergiert, also ist der limsup sicher > 1 daraus folgt die Reihen-Divergenz.
/Clemens |
Martin
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Oktober, 1999 - 13:43: |
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Hallo Clemens!
Danke, das hat mir sehr geholfen, aber kannst Du mir bitte noch mal näher erklären wie Du darauf kommst, daß 1/(1+1/k)k -> 1/e ist? |
spockgeiger
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Oktober, 1999 - 14:00: |
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weil e=lim (1+1/k)^k fuer k gegen unendlich ist |
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