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flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 16:31: | 
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Hallo zusammen!
Ich grübele gerade über einer Aufgabe in der es um einen Würfel mit den Punkten O(0|0|0), A(4|0|0), B(0|4|0) und C(0|0|4) geht. Nun habe ich versucht den Würfel ins 3D-Koordinatensystem zu zeichnen. Allerdings schaut das für mich nicht wie ein Würfel aus. Hab ich nen Sehfehler oder stimmt das so???
Dann soll dieser Würfel mit einer Ebene geschnitten werden, deren Schnittfläche ein gleichseitiges Dreieck ergibt mit der Seitenlänge 3*"Wurzel aus"2.
Wie mache ich das???
Bitte hilf mir jemand! |
Wm_Markus (Wm_Markus)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 17:39: |
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Also um den Würfel einzuzeichnen brauchst Du 8 Punkte : alle 8 Permutationen mit den ABC-Punkten.
Heißt A+B, A+C, B+C, A+B+C fehlen noch (additiv).
Diese Punkte müssen noch berücksichtigt werden.
Gleichseitiges Dreieck deutet auf eine Gerade z.B.
vom Punkt 0 zu A+B+C hin (keine richtige Ahnung)
WM_fürsErstehilfts Markus |
Dea (Dea)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Januar, 2001 - 12:56: |
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Hi flo,
wenn Du alle Punkte des Würfels hast:
(0|0|0),(4|0|0),(4|4|0),(0|4|0),
(0|0|4),(4|0|4),(4|4|4),(0|4|4)
fehlt Dir noch die Ebene. Sie schneidet den Würfel so, daß die Schnittfläche ein gleichseitiges Dreieck ergibt. Das kann nur passieren, wenn die Ebene dem Würfel eine Ecke abschneidet, wobei die Schnittpunkte auf den Würfelkanten jeweils gleichweit von der Ecke des Würfels entfernt sind. (leicht zu zeichnen, schwer zu schreiben) Nun hat der Würfel 8 Ecken, also gibt es auch 8 Ebenen, die diese Vorgabe erfüllen. Nehmen wir die Ecke (0|0|0): Wenn sie von der Ebene abgeschnitten wird, schneidet die Ebene drei Kanten: die von 0 nach (0|4|0), die von 0 nach (4|0|0) und die von 0 nach (0|0|4). Doch wo sind die Schnittpunkte genau? Mach eine Hilfszeichnung: Das Quadrat 0, (0|0|4), (0|4|0) und (0|4|4). Auf diesem Quadrat liegen 2 Schnittpunkte, auf der Kante von 0 nach (0|0|4) und nach (0|4|0). Beide sind gleich weit von 0 entfernt. Wenn man nun ein Hilfsdreieck einzeichnet mit den Eckpunkten 0 und den beiden Schnittpunkten, so ist dies rechtwinklig. Die Länge der Hypothenuse ist aus der Aufgabe bekannt, nämlich 3*Wurzel2. Jetzt kann man den Satz des Pythagoras anwenden mit c2 = 3*Wurzel2 und a2 = b2. Damit ergibt sich für a = b = 3. Also liegen die gesuchten Schnittpunkte bei (0|3|0) und (0|0|3), der dritte Schnittpunkt ist (3|0|0). Dies sind die Ecken des gleichseitigen Dreiecks, das sich beim Schnitt zwischen Würfel und Ebene ergibt. Damit hast Du nun eine der gesuchten Ebenen.
Die anderen 7 Ebenen bekommst Du genauso:
Eine Ecke aussuchen, auf den 3 Kanten 3 Längeneinheiten von der Ecke weg liegen die 3 Punkte für die neue Ebene; z.B. Ecke (4|0|0), auf der Kante in negativer x-Richtung liegt (1|0|0), auf der Kante in y-Richtung liegt (4|3|0) und auf der Kante in z-Richtung liegt (4|0|3). Die Ebene, die diese 3 Punkte aufspannen, schneidet ebenfalls den Würfel nach den Bedingungen der Aufgabe.
Hoffentlich hab ich mit verständlich ausgedrückt.
Gruß Dea |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Januar, 2001 - 14:40: |
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Hallo Dea! Vielen Dank für deine Hilfe. Deine Erklärung leuchtet mir ein und ich war mit meinen Überlegungen auch schon fast so weit. Habe durch dich also eine Bestätigung erhalten. Vielen Dank!!!
Allerdings habe ich keine Idee, wie man den Würfel schneiden muß, damit die Schnittfläche ein gleichseitiges Sechseck ergibt. Weißt du das vielleicht???
Vielen Dank noch mal!
Flo |
Dea (Dea)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Januar, 2001 - 16:19: |
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Hallo Flo,
hast Du Dir das mit dem Sechseck selbst ausgedacht oder stammt diese Aufgabe von einem Lehrer? |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Januar, 2001 - 21:29: |
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So ist die Aufgabe. Wieso??
Ich habe jetzt allerdings eine Frage zu deiner Erklärung vom Dreieck. Ich verstehe warum du den Satz des Pythagoras anwendest, aber ich verstehe nicht wie du von
c²=3*"Wurzel 2" auf a=b=3 kommst.
Das a²und b² gleich sein müßen verstehe ich auch.
Hast du dir irgendeinen Schnittpunkt frei gewählt?
Ich habe die Schnittpunkte R und S genannt.
S(0|0|s) und R(0|r|0)
dann habe ich für c² 3*Wurzel 2 eingesetzt:
3*Wurzel 2= (0|0|s)² + (0|r|0)²
und dann müßte ich ja wieder die Wurzel ziehen und komme nicht auf 3 oder??
Viele Grüße Flo |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Januar, 2001 - 11:00: |
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Bitte helf mir jemand!! |
Ingo
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Januar, 2001 - 23:12: |
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Nicht c2 ist 3Ö2 sondern c. Also müßtest Du (3Ö2)2=18=s2+r2 ansetzen und dann stimmt es mit der von Dea angegebenen Lösung auch wieder überein. |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Januar, 2001 - 17:03: |
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Vielen Dank Ingo. Bis dahin hab ich jetzt verstanden. Nun mußte ich den Abstand des Punktes G(4|4|4) von der Schnittebene des Würfels berechnen ( E: (1|1|1)*(x-(4|1|4))=0 ).
Dazu habe ich die HNF bestimmt. Also:
E: 1/3(1|1|1)*(x-(4|1|4))=0
für x habe ich dann G eingesetzt und bekomme für den Abstand 1 heraus. Stimmt das?
Außerdem mußte ich den Durchstoßpunkt T der Geraden (0P) bestimmen. Dazu habe ich die Gleichung der Geraden aufgestellt:
g: x= (4|4|4)+t(-4|-4|-4)
Habe dann g und E gleichgesetzt und bekomme für
t= 1/4 heraus.
=> T(3|3|3)
Stimmt das???
Nun mein nächstes Problem: Der Würfel soll so geschnitten werden, dass die Schnittfläche ein gleichseitiges Sechseck ergibt.
Der erste Schnittpunkt liegt auf der Strecke zwischen den Punkten C und E.
Der zweite liegt auf der Geraden zwischen A und F.
Die nächsten beiden sollen in dem Quadrat von A,0,C und D liegen.
Die anderen beiden im Quadrat zwischen G, F, B, und E.
wie stelle ich nun die Ebenengleichung auf und wie erreiche ich, daß das Sechseck regelmäßig ist?
(keine genaue Vorgabe der Seitenlängen.)
KANN MIR BITTE JEMAND HELFEN???? |
Dea (Dea)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Januar, 2001 - 12:09: |
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Hallo Flo,
ich hab das mal nachgerechnet, sowohl Abstand 1 wie auch T(3|3|3) sind richtig!
Der Rest folgt heute noch
Gruß Dea |
Dea (Dea)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Januar, 2001 - 16:01: |
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Hallo Flo,
das war ein ganzes Stück Arbeit, die Berechnung des Sechsecks, aber ich glaube, es ist noch schwieriger, das hinterher auch zu erklären.
Zunächst meine Voraussetzungen:
A(4|0|0), B(0|4|0), C(0|0|4), D(4|0|4), E(0|4|4), F(4|4|0) und G(4|4|4)
Ich hoffe, daß die Punkte so richtig sind.
Zwei Eckpunkte des Sechsecks liegen auf der Kante AF, bzw. auf der Kante CE. Damit das Sechseck regelmäßig werden kann, müssen diese zwei Punkte jeweils in der Mitte zwischen A und F, bzw. C und E liegen. Damit erhalten wir zwei Eckpunkte:
P1(4|2|0) und P4(0|2|4).
Diese beiden Punkte haben den Abstand 4*Wurzel(2). Mach mal eine Hilfszeichnung (Freihand!) von einem regelmäßigen Sechseck. Wenn Du die 3 Diagonalen einzeichnest, bekommst Du ein Gebilde aus lauter gleichseitigen Dreiecken. Die Diagonalen sind jeweils genau 2 Dreieckseiten lang. Eine Dreieckseite entspricht genau einer Sechseckseite. Daraus folgt: Die Diagonale eines Sechsecks ist genau doppelt so lang wie die Seite.
Da in unserem Fall die Diagonale 4*Wurzel(2) beträgt, ist die Seitenlänge 2*Wurzel(2).
Nun wieder zurück zu den Punkten P1 und P4. Da die Seitenlänge des Sechsecks 2*Wurzel(2) ist, liegt der nächste Eckpunkt genau 2*Wurzel(2) entfernt, d.h. der Punkt P2 liegt auf der Kugel mit Mittelpunkt P1 und Radius 2*Wurzel(2). Laut Aufgabe liegt P2 aber auch in der Ebene von 0,A,D,C, das ist die Ebene y=0. Also schneiden wir die Kugel mit dieser Ebene:
K1: (x-4)2 + (y-2)2 + z2 = 8
E1: y = 0
K1 geschnitten E1:
(x-4)2 + (0-2)2 + z2 = 8
ergibt Kreis1: (x-4)2 + z2 = 4
also liegt P2 auf Kreis1.
Das gleiche kann man mit P4 machen, dann erhält man Kreis2: x2 + (z-4)2 = 4, auf dem P3 liegt.
P2 und P3 haben auch den Abstand 2*Wurzel(2) voneinander, liegen in der Ebene y=0 und auf dem jeweiligen Kreis.
Diesen Teil der Rechnung bekommst Du auf Anfrage.
Man erhält P2(4|0|2) und P3(2|0|4) bzw.
P2(2|0|0) und P3(0|0|2) (aus Symmetriegründen gibt es zwei Ebenen)
Damit erhält man E1: x + y + z - 6 = 0
mit den Sechseckpunkten: P1(4|2|0), P2(4|0|2), P3(2|0|4), P4(0|2|4), P5(0|4|2) und P6(2|4|0) und
E2: x - y - z - 2 = 0
mit den Sechseckpunkten: P1(4|2|0), P2(2|0|0), P3(0|0|2), P4(0|2|4), P5(2|4|4) und P6(4|4|2).
Hoffentlich kannst Du was damit anfangen. Nachfragen erwünscht.
Gruß, Dea |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Januar, 2001 - 20:06: |
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Hy Dea!!
Vielen, vielen Dank für deine Hilfe!!! Ich werde mir deine Erklärung in Ruhe anschauen und wenn ich Fragen habe melde ich mich wieder OK???
@--->---->-----
Viele Grüße FLO |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Januar, 2001 - 21:41: |
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Hallo Dea!!!
Leider ist schon das erste Problem aufgetaucht: du hast bei deiner Erklärung die Punkte P2,P3,P5 und P6 mit Hilfe einer Kugel berechnet. Das Thema Kugeln haben wir aber nicht behandelt, denn bei uns wurde es vom Lehrplan gestrichen.
Ich habe jetzt die ganze Zeit darüber nachgedacht, ob es einen anderen Weg gibt, die Punkte zu ermitteln, aber ich glaube nicht, dass es funktioniert, wenn man sich den Mittelpunkt der Ebene (F,G,E,B) sucht => Q(2|4|2) und von dort aus dann die beiden Punkte sucht, in dem man 1/2"Wurzel2" dazuaddiert oder? Denn da gibt es ja beliebig viele Punkte.
Weißt du eine andere LÖsung???
Ich bin echt am verzweifeln!!! |
Dea (Dea)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Januar, 2001 - 13:00: |
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Hallo Flo,
das ist alles ganz schön verzwickt. Ich habe nun einen Weg gefunden, die Schnittebene(n) zu berechnen, allerdings braucht man dazu die HNF. Hoffentlich habt ihr das gehabt. Also:
Gegeben Würfel mit den Punkten siehe oben, Sechseckpunkte P1(4|2|0) und P4(0|2|4). Wir wissen, daß die Punkte P1 und P4 auf der Schnittebene liegen. Damit kann man diese Ebene ganz allgemein aufstellen (in Parameterform, bitte Vektoren denken):
E: (4|2|0) + r(1|0|-1) + (s1|s2|s3)
Damit haben wir eine Ebenenschar aufgestellt, von der 2 Ebenen (wegen Symmetrie) den Würfel so schneiden, daß die Schnittkurve ein regelmäßiges Sechseck beschreibt. Man kann bei Ebenen in Parameterdarstellung ohne Beschränkung der Allgemeinheit fordern, daß die beiden Richtungsvektoren aufeinander senkrecht stehen:
1*s1 + 0*s2 -1*s3 = 0
damit erhält man s3 = s1
E: (4|2|0) + r(1|0|-1) + (s1|s2|s1)
Nun kommt die Sache mit der HNF: Wir wollen die Ebene in Normalform darstellen. Dafür brauchen wir einen Punkt der Ebene und den Normalenvektor, der auf beiden Richtungsvektoren senkrecht steht. Damit bekommt man den Normalenvektor (s2|-2s1|s2). Die Normalform lautet dann:
E: ((x|y|z)-(4|2|0))*(s2|-2s1|s2) = 0
und ausmultipliziert:
s2x - 2s1y + s2z - 4s2 + 4s1 = 0
Nun kann man ebenfalls ohne Beschränkung der Allgemeinheit fordern, daß der Normalenvektor normiert sein muß (Übergang auf die HNF), d.h. Länge des Normalenvektors gleich 1:
Wurzel(2s22 + 4s12) = 1
umgeformt: s1 = 0,5*Wurzel{1 - 2s22}
(nur noch eine Unbekannte, genannt s)damit HNF:
E: sx - Wurzel(1-2s2)y + sz - 4s + 2*Wurzel(1-2s2) = 0
Da die Eckpunkte des Sechsecks auf Kanten des Würfels liegen müssen, schneidet man nun die Ebene E mit z.B. Kante von C nach D und Kante von A nach D (man kann auch die Kanten 0C und 0A nehmen, gibt das selbe Ergebnis, ist aber kniffliger zu rechnen):
1. Kante von A nach D, als Gerade
g1: (4|0|0) + t(0|0|1) geschnitten mit E:
4s + ts - 4s + 2*Wurzel(1-2s2) = 0
t = -(2/s)*Wurzel(1-2s2)
2. Kante von C nach D, als Gerade
g2: (0|0|4) + u(1|0|0) geschnitten mit E:
us + 4s - 4s + 2*Wurzel(1-2s2) = 0
u = -(2/s)*Wurzel(1-2s2)
damit erhält man
P2(4|0|-(2/s)*Wurzel(1-2s2)) und P3(-(2/s)*Wurzel(1-2s2)|0|4)
der Abstand zwischen P2 und P3 beträgt
Wurzel((4+(2/s)*Wurzel(1-2s2))2 + (-(2/s)*Wurzel(1-2s2)-4)2) oder einfacher
Wurzel(2)*(4+(2/s)*Wurzel(1-2s2))
wir wissen, daß der Abstand zwischen zwei benachbarten Eckpunkten des Sechsecks 2*Wurzel(2) beträgt, daher können wir den Abstand von P2 und P3 damit gleichsetzen (ich hab diese Gleichung mit Wurzel(2) gekürzt):
4+(2/s)*Wurzel(1-2s2) = 2
| -4 | *s | /2
Wurzel(1-2s2) = -s | quadrieren
1 - 2s2 = s2 | nach s2 auflösen
s2 = 1/3, s = plus/minus (1/3)*Wurzel(3)
nun setzen wir s(plus) in E ein:
E1: (1/3)*Wurzel(3)x - (1/3)*Wurzel(3)y + (1/3)*Wurzel(3)z - 4*(1/3)*Wurzel(3) + 2*(1/3)*Wurzel(3)
damit das besser aussieht, mit 3/Wurzel(3) multiplizieren:
E1: x - y + z - 2 = 0
nun noch s(minus) in E einsetzen:
E2: -(1/3)*Wurzel(3)x - (1/3)*Wurzel(3)y - (1/3)*Wurzel(3)z + 4*(1/3)*Wurzel(3) + 2*(1/3)*Wurzel(3) = 0
und mit -3/Wurzel(3) multiplizieren:
E2: x + y + z - 6 = 0
Hoffentlich kannst Du hier alles gebrauchen.
Gruß, Dea |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Januar, 2001 - 15:58: |
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Hy Dea!!
Vielen Dank! Das mit den 6 Punkten ist jetzt klar. Mein Lehrer hat gesagt, dass ich es gar nicht ausrechnen muß. Vielen Dank aber trotzdem für deine Mühe das ist echt super von dir und ich schau es mir trotzdem an. Nun habe ich weitergerechnet. Mein Sechseck hat die Punkte R1(4|2|0), R2(2|4|0), R3(0|4|2), R4(0|2|4),R5(0|0|2) und R6 (2|0|0)
Ich habe eine Parameterform der Ebene erstellt:
E2: x= (2|0|0)+u(1|1|0)+v(-1|0|1)
Dann sollte ich die Normalenform angeben:
(1|-1|1)*(x- (2|0|0) )=0
Nun sollte ich auch hier den Abstand vom Punkt G(4|4|4) zu E2 berechnen. Habe ich wieder mit der HNF gemacht und bekomme 2/"Wurzel3" heraus.
Dann mußte ich den Durchstoßpunkt Q von g (siehe oben) durch E2 berechnen. Q(2|2|2)
Dann war eine Ebene E3 gegeben:
E3: x1+2* x2 + x3 =24
Da sollte man die Schnittgerade g1 mit der Ebene E1 berechnen (E1= Schnittfläche Dreieck) und die Schnittgerade g2 mit der Ebene E2 (=Ebene Sechseck) berechnen.
g1: x= (24|-33|0) + s (-1|2|-1) und
g2: x= 1/3*(24|22|0)+v(1|2|1).
Dann sollen wir noch die Lage dieser beiden Geraden untersuchen, da bin ich gard noch dabei, muß jetzt aber weg.
Es wäre super wenn du mir sagen könntest, ob die Ergebnisse soweit stimmen, denn morgen muß ich die Aufgabe abgeben, heute ist also meine letzte Chance!
VIELEN DANK SCHON MAL!!!!! |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Januar, 2001 - 20:06: |
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BITTE HELF MIR SCHNELL JEMAND!!!! DRINGEND!!!! |
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