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Sina (Serry)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 12:20: | 
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Wer kann mir helfen, ich brauche bis spätestens Sonntag die Lösung. Die Aufgabe lautet:
Eine Urne enthalte drei gelbe und drei blaue Kugeln. Es wird so lange ohne Zurücklegen Kugel für Kugel entnommen, bis alle drei gelben Kugeln gezogen sind. Wie groß ist der erwartete Wert für die Anzahl der dafür notwendigen Ziehungen?
Danke für eure Bemühungen! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Januar, 2001 - 08:59: |
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Hi Sina,
X sei die Anzahl der nötigen Ziehungen, bis alle drei gelben
Kugeln der Urne entnommen sind.
Diese Zufallsvariable kann die folgenden Werte annehmen:
X = X1 = 3 mit der Wahrscheinlichkeit p1=1/20,
X = X2 = 4 mit p2 = 3 / 20,
X = X3 = 5 mit p3 = 6 / 20 ,
X = X4 = 6 mit p4 = 10 / 20.
N.B. p1 + p2 + p3 + p4 = 1
Der Erwartungswert E(x) ist daher:
E(x) = p1* X1 + p2* X2 + p3*X3+ p4*X4 =
= 1/20 [ 1 * 3 + 3 * 4 + 6 * 5 + 10 * 6 ] = 105 / 20 = 5.25
Begründung
g: eine gelbe Kugel wird gezogen, b: eine blaue Kugel wird gezogen
(1) Ausfall X = 3 (genau drei Züge)
Reihenfolge: g g g
Wahrscheinlichkeit: p = 3/6*2/5*1/4 = 1/20
(2) Ausfall X = 4 (genau vier Züge)
Mögliche Ziehungen: g g b g
........................................ g b g g
.........................................b g g g
Somit 3 Einzelfälle:
Wahrscheinlichkeiten :JE 1/20,
.für g g b g:.......... p = 3/6*2/5*3/4*1/3 = 1 / 20
für g b g g .............p = 3/6*3/5*2/4*1/3 = 1 / 20
für b g g g .............p = 3/6*3/5*2/4*1/3 = 1 / 20
(3) Ausfall X = 5 (genau 5 Züge):
Mögliche Ziehungen: g g b b g
....................................g b g b g
....................................g b b g g
.....................................b g b g g
.....................................b g g b g
.....................................b b g g g
Somit 6 Einzelfälle
Wahrscheinlichkeit JE 1 / 20
Beisp: für g b g b g:............ p = 3/6 * 3/5* 2/4* 2/3*1/2 = 1 / 20
u.s.w.
(4) Ausfall X = 6 (genau 6 Züge)
Mögliche Ziehungen: ggbbbg, gbgbbg, gbbgbg, gbbbgg,
bgbbgg, bggbbg, bgbgbg, bbggbg, bbgbgg, bbbggg
Somit 10 Einzelfälle
Wahrscheinlichkeit JE 1 /20
Beisp. für ggbbbg: p = 3/6*2/5*3/4*2/3*1/2*1/1
u.s.w.
Damit ist das Nötige gezeigt.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Januar, 2001 - 12:47: |
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Hi Sina,
Ich möchte noch eine Ergänzung zum kombinatorischen
Gehalt der Aufgabe anbringen.
Wir nehmen den Ausfall X = 6 näher unter die Lupe
und fragen uns, warum es genau 10 Ziehungen dieser Art gibt.
X = 6 bedeutet: es braucht 6 Ziehungen, bis alle drei gelben
Kugeln der Urne entnommen sind
Drittes Beispiel in der obigen Aufzählung: gbbgbg.
Jedenfalls steht als letztes Element stets der Buchstabe g.
Was vor diesem g steht ,ist eine Permutation mit Wiederholung
der 6 - 1 = 5 Elemente ( zweimal g und dreimal b),
die Anzahl wird mit der Formel 5! / (2! * 3! ) =120 / 12 = 10
berechnet ( 5! bedeutet 1*2*3*4*5 ).
Für X = 5 kommt 4! / (2! 2!) = 6
Für X = 4 kommt 3! / (2! 1!) = 3
Für X = 1 kommt 2! / (2! 0!) = 1 , wobei 0! = 1 gilt.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
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