| Autor |
Beitrag |
    
Martin (Planlos8)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Januar, 2001 - 10:24: | 
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Ich muß die Volumen von Kugel, Torus und Fass
mit Hilfe des Integrals über ihre Querschnittsfunktion berechnen. Hier die Erklärung von user "miniwatu" zur Herleitung:
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Wie gesagt es geht um Körper, die keine Rotationskörper sind. Stelle Dir dabei vor,
dass dieser Körper in einem dreidimensionalen Koordinatensystem (x,y,z) liegt und
durch zwei Ebenen begrenzt wird, die parallel zur y,z-Ebene liegen. Die Ebenen lassen
sich durch Gleichungen der Art x=a bzw x=b beschreiben.
Um Dir das besser vorstellen zu können, zeichne doch mal so ein Koordinatensystem
und versuche alle Punkte einzuzeichnen, die in der ersten Koordinate den Wert 1
besitzten, also x=1. Es müsste eine Ebene herauskommen.
Als Beispiel können wir eine quadratische Pyramide verwenden, deren Spitze im
Ursprung liegt und deren Höhe identisch mit der x-Achse ist. Die Ebenen in dem
Beispiel können dann mit x=0 und x=h, wenn h die Höhe der Pyramide ist, beschrieben
werden.
Jede Ebene x=c, die parallel zu und zwischen den beiden Grenzebenen liegt schneidet,
dann den Körper. Es gilt dann dabei a £ c £b. Den Flächeninhalt der Schnittfläche
bezeichnen wir mal als q(c) oder allgemein q(x). Die Schnittflächen sind immer
senkrecht zu x-Achse, genau wie die Ebenen.
In dem Beispiel der Pyramide sei die Höhe h=5, dann wäre x=2 eine Ebene die zwischen
den Grenzebenen liegt. Die Querschnittsfläche ist eine Quadrat, dessen Flächeninhalt
vom Flächeninhalt des Quadrats abhängt, das die Grundfläche der Pyramide ist. Je
größer der Flächeninhalt des Quadrats der Grundfläche desto größer der Flächeninhalt
der Querschnittsfläche in der gleichen Höhe.
Nun lässt sich nicht so einfach auch Flächeninhalten Rauminhalte machen. Um dies
zuerreichen zerlegen wir den Körper in dünne Scheiben, die parallel zu den
Grenzebenen liegen. Deren Volumen ist in etwa: Grundfläche der Scheibe •
Scheibendicke. Also q(xk) • Scheibendicke, wenn die Schnittfläche der Ebene x=xk als
Grundfläche der Scheibe gewählt wurde. Die Volumenberechnung stimmt nicht genau,
denn durch diese Berechnung wird das Volumen eines Prismas bestimmt, das immer die
gleiche Querschnittsfläche hat. Das muss bei den Scheiben nicht notwendigerweise so
sein.
Bei einer quadratischen Pyramide sind die Scheiben Quader. Sie haben als Grundfläche
ein Quadrat, also ist deren Volumen Grundfläche • Höhe. Die Höhe entspricht der
Scheibendicke. Die einzelnen Quader schauen entweder über die Pyramide hinaus oder
sind etwas kleiner als sie, jenachdem welchen Querschnitt man als Grundfläche
genommen hat. Dies ist jedoch nicht schlimm, wenn die Scheiben dünn genug sind.
Denn dann ist dies nicht zu sehen oder zu spüren.
Das Volumen des Körpers entspricht dann der Summe über alle Scheibenvolumen. Also
wenn der Körper in n Scheiben zerlegt wurde, gilt V = Sn k=1 q(xk) • (xk - xk-1). xk -
xk-1 stellt dabei die Scheibendicke dar. Als Grundfläche der Scheibe wurde dann
jeweils die Schnittfläche mit der Ebene x=xk gewählt. Werden die Scheibendicken
immer kleiner gewählt, wird die Ungenauigkeit der Volumenberechnung auch immer
geringer und das Volumen nähert sich für unendlichviele Scheiben dem tatsächlichen
Volumen des Körpers an. Ähnliches wird gemacht, wenn das Integral der Funktion q(x)
bestimmt wird, nur dass dann xk - xk-1 nicht die Scheibendicke darstellt, sondern die
Breite von Streifen. Es muss also für das Volumen des Körpers gelten:
V = òa b q(x) dx
Also zusammengefasst:
Ein Körper liegt zwischen zwei Ebenen x=a und x=b. Der Flächeninhalt der
Schnittfläche der Körpers mit einer Ebene an der Stelle x lässt sich durch die Funktion
q(x) beschreiben. Dann lässt sich das Volumen des Körpers durch das Integral von
q(x) von a bis b berechnen.
Das Problem bei den ganzen Volumenberechnungen ist nun, wie bekomme ich die
Funktion q(x), die Querschnittsfunktion. Bei der Rotation um die x-Achse wurde das
bereits gelöst. Bei dem Beispiel mit der Pyramide muss man mit dem Strahlensatz ran.
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Mein Problem ist jetzt: Wie bekomme ich diese
Querschnittsfunktionen? Angeblich wurde diese Problem bei der Volumenberechnung von Rotationskörpern bereits gelöst, ich komme aber nicht drauf, wie. Es müssen ja nicht gleich die fertigen Formeln sein, aber eine Idee, von der aus ich anfangen kann, wäre super.
Schonmal danke,
Martin |
C
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Januar, 2001 - 13:15: |
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hoffentlich weiß das 'miniwatu' |
goodi
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Januar, 2001 - 21:47: |
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hast Du schonmal selbst angefangen damit, dann kann vielleicht mal der ein oder andere immer einen Tipp weiterhelfen, ohne gleich 2 Stunden Zeit haben zu müssen .... |
Martin (Planlos8)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Januar, 2001 - 09:10: |
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Also, ich habs jetzt kapiert, es ist wirklich total einfach, aber leider ist es schon so einfach, dass es mir wieder an Stoff fehlt. Ich verspreche, dass ich nach dem 1 Februar die Lösung hier reinstelle, falls das nochmal jemand braucht. Ich bräuchte jetzt jemand, der mir nen Tip gibt was sich so als kleine Ergänzung zu meiner Facharbeit "Raummessung durch Integration - Anwendung auf Kugel, Torus und Fass" eignet. Wäre super wenn ihr ein paar Vorschläge machen würdet. Ich habe bis jetzt Rotationskörper und das oben dargestellte Problem. |
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