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Anj@
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Oktober, 1999 - 19:09: | 
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Wer kann folgende Aufgabe lösen?
Die Vektoren a, b, c, seien linear unabhängig. Zeige die lineare Unabhängigkeit von:
a+2b+c, a-b+5c und 3a-c.
Es wäre nett, wenn sich jemand für die Aufgabe finden würde.
Vielen Dank im voraus
Anj@ |
spockgeiger
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Oktober, 1999 - 20:47: |
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hallo anj@
lineare unabhaengigkeit bedeutet, dass die gleichung ka+lb+mc=0 (k,l,m sind skalare) nur die loesung (000) hat
versuchen wir mal dasselbe an deinen neuen vektoren:
* k(a+2b+c)+l(a-b+5c)+m(3a-c)=0
(k+l+3m)a+(2k-l)b+(k+5l-m)c=0
da a,b,c lin. unabh. sind, gibt es fuer diese gleichung nur eine loesung, und zwar, dass alle skalare (in diesem falle summen) null sind, also:
1. k+l+3m=0
2. 2k-l=0 l=2k
3. k+5l-m=0
setze zweite gleichung in erste und dritte:
1. 3k+3m=0
2. 11k-m=0m=11k
setze 2. in 1.:
1. 36k=0k=0
setze das in 2.:
2. m=0
setze das in 3.:
3. l=0
k,l und m sind aber die skalare in der gleichung, die mit * versehen sind, muessen aber alle gleich null sein, also sind die in jener gleichung angegebenen vektoren lin. unabhaengig, hoffe, konnte dir helfen... |
Clemens
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Oktober, 1999 - 23:43: |
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Vielleicht erwähne ich, daß es hier eben genügt zu zeigen, daß (1,2,1),(1,-1,5)und (3,0,-1) linear unabhängig sind.
Das ganze funktioniert, weil (a,b,c) als l.u. Vektoren eine Basis des Raums bilden, den sie aufspannen, und weil a+2b+c -> (1,2,1) dann nur eine Basistransformation ist, welche die l.u.-Eigenschaft erhält.
Das ist der allgemeine Hintergrund von spockgeiers Ausführungen, die ja absolut ok sind.
/Clemens |
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