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Maria
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Januar, 2001 - 19:30: | 
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Also ich hab folgendes Problem:
Wie lautet die Gleichung der Ellipse welche die Parabel y²=2x unter einem rechten Winkel schneidet, wenn die Hauptachse der Ellipse gleich dem doppelten Parameter der Parabel ist?
Wäre echt nett!dankkkkeeee |
Frank (Norg)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Januar, 2001 - 11:00: |
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Allg. Ellipsengleichung:
x^2/a^2+y^2/b^2=1
a...Hauptachse der Ellipse
b...Nebenachse der Ellipse
Allg. Parabelgleichung
y^2=2px
p...Parameter der Ellipse
Wenn sich zwei Funktionen f und g unter einem
rechten Winkel schneiden, dann gilt:
f(x)=g(x)
f'(x)=-1/g'(x)
Du mußt also beide Gleichungen (Ellipse und Parabel)
noch nach y auflösen (jew. 2 Mögl. (±) !) und ableiten.
Hilft das?
MfG Frank. |
Maria
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Januar, 2001 - 17:39: |
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Nein ich weiss nicht wie ich es rechnen muss!
kannst du es mir etwa vorrechnen???
Wäre ganz toll!
danke |
Frank (Norg)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Januar, 2001 - 10:34: |
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Ellipse:
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
Parabel:
y^2=2x
Der Parameter der Parabel ist 1 also ist Die Hauptachse der Ellipse 2:
x^2/4 + y^2/b^2 = 1
Beide nach y umstellen:
Ellipse
e: y = ±b*Ö(1 - x^2/4)
Parabel:
p: y = ±Ö2x
Beides ableiten:
e': y' = -2x/4*1/(±2Ö(1-x^2/4))
= -1*±x/(4Ö(1-x^2/4))
p': y' = ±1Ö2x
Da beide Kurven syymetrisch zur x-Achse liegen,
reicht es nur den oberen Teil zu betrachten, d.h. auch nur die oberen Vorzeichen.
Jetzt kann man Funktionen definieren:
Ellipse
f(x) = b*Ö(1 - x^2/4)
f'(x) = -b*x/(4Ö(1-x^2/4))
Parabel
g(x) = Ö2x
g'(x) = 1/Ö2x
Wie oben gesagt muß gelten, wenn die Graphen der Funktionen f und g
sich bei x rechtwinklig schneiden:
I f(x) = g(x)
II f'(x) = -1/g(x)
Also:
I b*Ö(1 - x^2/4) = Ö2x
II -b*x/(4Ö(1-x^2/4)) = - Ö2x
Nun muß man dieses Gleichungssystem nach b (und x) lösen.
Es liegt nahe, die beiden Gleichungen erstmal zu addieren:
b*Ö(1 - x^2/4) - b*x/(4Ö(1-x^2/4)) = 0
b*Ö(1 - x^2/4) = b*x/(4Ö(1-x^2/4))
Mit wurzel{(1 - x^2/4)} multiplizieren:
b*(1 - x^2/4) = b*x/4
Durch b teilen:
1 - x^2/4 = x/4
x^2/4 + x/4 - 1 = 0
x^2 + x - 4 = 0
pq-Formel:
x1/2 = -1/2 ±Ö(1/4 + 4) = -1/2 ±Ö17/2
Wenn man sich den Verlauf der Kurven vorstellt, sieht man gleich, daß nur die positive Lösung sinnvoll ist:
x= -1/2 + Ö17/2
Einsetzen in I und lösen (bin ich zu faul abzuschreiben):
b = 2*Ö2
Ellipse:
x^2/4 + y^2/8 = 1
2x^2 + y^2 = 8
Bild:
Ist'n bißchen schmuttzig (sorry).
MfG Frank.
Bild |
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